28260

28260 (Dana Heuberger)

Enunț

Fie triunghiul echilateral $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $1$. Considerăm mulțimea ${\mathcal {M}}$ a punctelor $X$ din plan cu proprietatea că ${\overrightarrow {OX}}=k\cdot {\overrightarrow {OA}}+m\cdot {\overrightarrow {OB}}+n\cdot {\overrightarrow {OC}}$, unde $k,m,n\in N^{*}$. Arătați că oricare ar fi punctele distincte $M,N,P\in {\mathcal {M}}$ există $Q\in {\mathcal {M}}$ astfel încât vectorii ${\overrightarrow {MN}}$, ${\overrightarrow {PQ}}$ și ${\overrightarrow {NM}}+$ ${\overrightarrow {QP}}$ să formeze un triunghi echilateral.

Soluție

Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor OA,OB și OC, distanța ditre două drepte consecutive fiind de ${\sqrt {3}}$, ca în figura alăturată. Cum ${\overrightarrow {OC}}$ = $-{\overrightarrow {OC}}$ - ${\overrightarrow {OC}}$ obținem că $X\in M$ dacă și numai dacă există $p,q\in Z$, astfel încât ${\overrightarrow {OX}}=p$ $\cdot$ ${\overrightarrow {OA}}+q$ $\cdot$ ${\overrightarrow {OB}}$.

Analog,coordonatele lui ${\overrightarrow {OX}}$ în baza $({\overrightarrow {OB}},\,{\overrightarrow {OC}})$, precum și cele din baza $({\overrightarrow {OA}},\,{\overrightarrow {OC}})$ sunt întregi. De aici rezultă ușor că $M$ este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.

Alegem punctele $M,N,P\in M$. Dacă vectorul ${\overrightarrow {MN}}$ este paralel cu unul dintre vectorii ${\overrightarrow {OA}}$,${\overrightarrow {OB}}$,${\overrightarrow {OA}},$ problema este evidentă. Dacă ${\overrightarrow {MN}}$ nu este paralel cu niciunul dintre vectorii ${\overrightarrow {OA}},$${\overrightarrow {OB}},$,${\overrightarrow {OC}},$ fie $a,b\in Z^{*}$ coordonatele lui ${\overrightarrow {MN}}$ în baza $({\overrightarrow {OA}},$${\overrightarrow {OB}})$ și punctele $S,T,R,$ astfel încât ${\overrightarrow {SN}}=a\cdot$ ${\overrightarrow {OA}},$ ${\overrightarrow {MS}}=b\cdot$ ${\overrightarrow {OB}},$, ${\overrightarrow {NR}}=a\cdot$ ${\overrightarrow {OC}},$ și ${\overrightarrow {RT}}=b\cdot$ ${\overrightarrow {OA}}$. Rezultă ${\overrightarrow {MN}}=a\cdot$${\overrightarrow {OA}}+b\cdot$ ${\overrightarrow {OB}}$ și ${\overrightarrow {NT}}=a\cdot$${\overrightarrow {OC}}+b\cdot$${\overrightarrow {OA}}$.

Dacă $a\cdot b>0,$ atunci $m(\angle MSN)=m(\angle TRN)=60^{\circ }$ , iar daca $a\cdot b<0,$ atunci $m(\angle MSN)=m(\angle TRN)=120^{\circ }$. Cum $MS=RT=|b|,$ iar $SN=NR=|a|,$ rezultă că triunghiurile $MNS$ și $TNR$ sunt congruente, deci $TN=MN$ și $m(\angle MSN)=m(\angle TRN).$.

Întrucât $m(\angle SNR)=60^{\circ }$ , obținem și $m(\angle MNT)=60^{\circ }$, deci triunghiul $MNT$ este echilateral. Este suficient să alegem punctul $Q$ astfel încât ${\overrightarrow {PQ}}=$ ${\overrightarrow {NT}}$ și problema este rezolvată.

Remarcă: De fapt, triunghiul $TNR$ este imaginea triunghiului $MNS$ prin rotația de centru $N$ și unghi de $60^{/}circ$.