E:14742

E:14742 (Liliana Puț)

a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a$, $b$, $c$ avem

         Failed to parse (syntax error): {\displaystyle |a + b| + |a + c| ≥ |b - c|.}

b) Demonstrați că pentru orice număr real $x$ avem

         
$$|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2014|\geq 1007^{2}$$
.

Soluție

a) Arătăm că $|x|+|y|\geq |x-y|$, (1).

Cum $|x-y|=|y-x|$, relația (1) este simetrică în $x$ și $y$ și este suficient să analizăm cazul $x\geq y$. Mai mult, deoarece $|x|=|-x|$, vom analiza numai cazul $x\geq 0$ și $y\geq 0$. În acest caz, inegalitate $x+y\geq x-y$ conduce la Failed to parse (syntax error): {\displaystyle y ≥ 0} , care este adevărată. Luând $x=a+b$ și $y=a+c$, obținem inegalitatea din enunț.

b) Membrul stâng al inegalității are 2014 termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem |x + 2015 - k| + |x + k| ≥ |x + 2015 - k - x - k| = 2015 - 2k, pentru orice k ∈ {1, 3, 5, ... , 1007}. Astfel, suma este mai mare sau egală cu 2013 + 2011 + ... + 1 = (2013 + 1) + (2011 + 3) + ... + (1009 + 1005) + 1007 = 2014 • 503 + 1007 = $1007^{2}$.