E:16382

E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Afișați numerele întregi pozitive Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abcd}} cu proprietateaFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^7 + e^d + ad = \overline{a000}.} Soluție

Deoarece Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4^7 > 9999} și $1^{7}+a^{b}+a^{c}+a^{d}<1000$, avem $a=2$ sau $a=3$.

Egalitatea din enunț corespunde scrierii numărului ${\overline {a000}}$ în baza $a$.

Cum $2000=11111010000_{2}$, $a=2$ nu convine.

De asemenea, $3000=10101001000_{2}$ corespunde egalității din enunț

$$3000=3^{7}+3^{5}+3^{4}+3^{2}\cdot 2^{2}.$$

Prin urmare, avem soluțiile $b=6$, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = 4} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d = 1} și permutările acestora.

Se obțin numerele întregi pozitive: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{{3641}, {3614}, {3461}, {3461}, {3164}, {3146}\}.}