E:14336: Difference between revisions

Revision as of 07:36, 16 January 2024

S:E14336 (Gh. Szöllösy)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}} cu proprietatea:

f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),

pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} numere reale.

Soluție.

Presupunem căFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)=c\neq0.} Atunci, pentru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = 0} relația din enunț devine Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)-c=acxf(x).} Ultima relație nu poate fi adevărată pentru oriceFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in \mathbb{R}.}
Într-adevăr, pentru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\frac{1}{ac}} obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c=0} , în contradicție cu presupunerea făcută, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\neq0.} . Rezultă așadar, că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)=0.} De aici, luând Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=0} obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=0,} singura funcție care verifică relația dată.

@@ Line 7: / Line 7: @@
 '''Soluție.'''
-'' Presupunem că''<math> f(0)=c\neq0.</math>'' Atunci, pentru ''<math>y = 0</math> ''relația din enunț devine'' <math>f(x)-c=acxf(x).</math>''Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice''<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br>
+Presupunem că<math> f(0)=c\neq0.</math> Atunci, pentru <math>y = 0</math> relația din enunț devine <math display="block">f(x)-c=acxf(x).</math>Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br>
-''Într-adevăr, pentru'' <math>x=\frac{1}{ac}</math> ''obținem'' <math>c=0</math>,'' în contradicție cu presupunerea făcută,'' <math>c\neq0.</math>. ''Rezultă așadar, că'' <math>f(0)=0.</math> ''De aici, luând'' <math>y=0</math> ''obținem'' <math>f(x)=0,</math>'' singura funcție care verifică relația dată.''
+Într-adevăr, pentru <math>x=\frac{1}{ac}</math> obținem <math>c=0</math>, în contradicție cu presupunerea făcută, <math>c\neq0.</math>. Rezultă așadar, că <math>f(0)=0.</math> De aici, luând <math>y=0</math> obținem <math>f(x)=0,</math> singura funcție care verifică relația dată.