S:E15.208: Difference between revisions

Revision as of 07:44, 9 January 2024

S:E15.208 (Angela Lopată)

Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma $2015$ .

Soluția 1 Fie $a\in \mathbb {N}$ și $N\in \mathbb {N} \setminus \left\{0,1\right\}$ numere naturale pentru care

\left(a+1\right)+\left(a+2\right)+\ldots +\left(a+N\right)=2015.

În mod echivalent, se obține

Na+\left(1+2+\ldots +N\right)=2015

, deci

N\cdot \left(2a+1+N\right)=2\cdot 2015.

Din

a\geq 0

, avem

N\left(N+1\right)\leq N\left(2a+1+N\right)=2024

. Cum

63\cdot 64\leq 4030\leq 64\cdot 65

, se deduce că

N\leq 63

.

Din $N|4030$ și Failed to parse (syntax error): {\displaystyle N\le 63<math/> rezultă <math>N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}} .

Pentru $N=2$ se obține $2a+3=2015$ , cu $a=1006$ . Deci avem suma de două numere consecutive

1007+1008=2015.

Pentru  $N=5$  se obține  $2a+6=806$ , cu  $a=400$ . Deci avem suma de  $5$  numere consecutive

401+402+403+404+405=2015.

Pentru

N=10

se obține

2a+11=403

, cu

a=196

. Deci avem suma de

10

numere consecutive

197+198+\ldots +206=2015.

Pentru

N=13

se obține

2a+14=310

, cu

a=148

. Deci avem suma cu

13

termeni, numere consecutive

149+150+\ldots +161=2015.

Pentru

N=26

se obține

2a+27=155

, cu

a=64

. Deci avem suma de

26

de numere consecutive Failed to parse (unknown function "\label"): {\displaystyle \label{eq6cls6} 65+66+\ldots+67=2015. } Pentru

N=31

se obține

2a+32=130

, cu

a=49

. Deci avem suma de

31

de numere consecutive Failed to parse (unknown function "\label"): {\displaystyle \label{eq8cls6} 50+51+\ldots+80=2015. } Pentru

N=62

se obține

2a+63=65

, cu

a=1

. Deci avem suma de

62

de numere consecutive Failed to parse (unknown function "\label"): {\displaystyle \label{eq7cls6} 2+3+\ldots+63=2015. }

Soluția 2

@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluția 1'''
 Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math>
-În mod echivalent, se obține 	<math>Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015</math>, deci
+În mod echivalent, se obține 	<math display="block">Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015</math>, deci
 <math display="block">
 N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015.
 </math>
-	Din <math>a\ge 0</math>, avem <math>N\left(N+1\right)\le N\left(2a+1+N\right) = 2024</math>. Cum <math>63\cdot 64 \le 4030 \le 64\cdot 65</math>, se deduce c\u a <math>N\le 63</math>.
+	Din <math>a\ge 0</math>, avem <math>N\left(N+1\right)\le N\left(2a+1+N\right) = 2024</math>. Cum <math>63\cdot 64 \le 4030 \le 64\cdot 65</math>, se deduce că <math>N\le 63</math>.
-	Din <math>N | 4030<math> \c si  <math>N\le 63<math> rezult\u a <math>N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}<math>.
+	Din <math>N | 4030</math> și  <math>N\le 63<math/> rezultă <math>N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}</math>.
-	\\ Pentru <math>N=2<math> se ob\c tine <math>2a+3 = 2015<math>, cu <math>a =1006<math>. Deci avem suma de două umere consecutive
+Pentru <math>N=2</math> se obține <math>2a+3 = 2015</math>, cu <math>a =1006</math>. Deci avem suma de două numere consecutive
 	<math display="block">
-		\label{eq2cls6}
 +1008=2015.
-	</math display="block">
+	</math>
-  Pentru <math>N=5<math> se ob\c tine <math>2a+6 = 806<math>, cu <math>a = 400<math>. Deci avem suma de <math>5<math> numere consecutive
+  Pentru <math>N=5</math> se obține <math>2a+6 = 806</math>, cu <math>a = 400</math>. Deci avem suma de <math>5</math> numere consecutive
 	<math display="block">
-		\label{eq3cls6}
 +402+403+404+405=2015.
-	</math display="block">
+	</math>
-	 Pentru <math>N=10<math> se ob\c tine <math>2a+11 = 403<math>, cu <math>a = 196<math>. Deci avem suma de <math>10<math> numere consecutive
+	 Pentru <math>N=10</math> se obține <math>2a+11 = 403</math>, cu <math>a = 196</math>. Deci avem suma de <math>10</math> numere consecutive
 	<math display="block">
-			\label{eq4cls6}
++198+\ldots+206=2015.
-+198+\ldots+206=2015.
+	</math>
-	</math display="block">
+	 Pentru <math>N=13</math> se obține <math>2a+14 = 310</math>, cu <math>a = 148</math>. Deci avem suma cu <math>13</math> termeni, numere consecutive
-	 Pentru <math>N=13<math> se ob\c tine <math>2a+14 = 310<math>, cu <math>a = 148<math>. Deci avem suma cu <math>13<math> termeni, numere consecutive
 	<math display="block">
-		\label{eq5cls6}
 +150+\ldots+161=2015.
-	</math display="block">
+	</math>
-	Pentru <math>N=26<math> se ob\c tine <math>2a+27 = 155<math>, cu <math>a = 64<math>. Deci avem suma de <math>26<math> de numere consecutive
+	Pentru <math>N=26</math> se obține <math>2a+27 = 155</math>, cu <math>a = 64</math>. Deci avem suma de <math>26</math> de numere consecutive
 	<math display="block">
 		\label{eq6cls6}
 +66+\ldots+67=2015.
-	</math display="block">
+	</math>
-	Pentru <math>N=31<math> se ob\c tine <math>2a+32 = 130<math>, cu <math>a = 49<math>. Deci avem suma de <math>31<math> de numere consecutive
+	Pentru <math>N=31</math> se obține <math>2a+32 = 130</math>, cu <math>a = 49</math>. Deci avem suma de <math>31</math> de numere consecutive
 	<math display="block">
 		\label{eq8cls6}
 +51+\ldots+80=2015.
-	</math display="block">
+	</math>
-	Pentru <math>N=62<math> se ob\c tine <math>2a+63 = 65<math>, cu <math>a = 1<math>. Deci avem suma de <math>62 <math> de numere consecutive
+	Pentru <math>N=62</math> se obține <math>2a+63 = 65</math>, cu <math>a = 1</math>. Deci avem suma de <math>62 </math> de numere consecutive
 	<math display="block">
 		\label{eq7cls6}
 +3+\ldots+63=2015.
-	</math display="block">
+	</math>
 '''Soluția 2'''