S:E15.208: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
← Older editNewer edit →
No edit summary
Tag: visualeditor-switched
No edit summary
Line 4: Line 4:


'''Soluția 1'''
'''Soluția 1'''
Fie $a\in \mathbb{N}$ \c si $N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}$ numere naturale pentru care \[\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.\]
Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math>
\^ In mod echivalent, se ob\c tine $Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015$, deci
În mod echivalent, se obține <math>Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015</math>, deci
\begin{equation}
<math display="block">
\label{eq1cls6}
N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015.
N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015.
\end{equation}
</math>
Din $a\ge 0$, avem $N\left(N+1\right)\le N\left(2a+1+N\right) = 2024$. Cum $63\cdot 64 \le 4030 \le 64\cdot 65$, se deduce c\u a $N\le 63$. \\
Din <math>a\ge 0</math>, avem <math>N\left(N+1\right)\le N\left(2a+1+N\right) = 2024</math>. Cum <math>63\cdot 64 \le 4030 \le 64\cdot 65</math>, se deduce c\u a <math>N\le 63</math>.  
Din $N | 4030$ \c si  $N\le 63$ rezult\u a $N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}$.
 
\\ Pentru $N=2$ se ob\c tine $2a+3 = 2015$, cu $a =1006$. Deci avem suma de două umere consecutive
Din <math>N | 4030<math> \c si  <math>N\le 63<math> rezult\u a <math>N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}<math>.
\begin{equation}
\\ Pentru <math>N=2<math> se ob\c tine <math>2a+3 = 2015<math>, cu <math>a =1006<math>. Deci avem suma de două umere consecutive
<math display="block">
\label{eq2cls6}
\label{eq2cls6}
1007+1008=2015.
1007+1008=2015.
\end{equation}
</math display="block">
  Pentru $N=5$ se ob\c tine $2a+6 = 806$, cu $a = 400$. Deci avem suma de $5$ numere consecutive
  Pentru <math>N=5<math> se ob\c tine <math>2a+6 = 806<math>, cu <math>a = 400<math>. Deci avem suma de <math>5<math> numere consecutive
\begin{equation}
<math display="block">
\label{eq3cls6}
\label{eq3cls6}
401+402+403+404+405=2015.
401+402+403+404+405=2015.
\end{equation}
</math display="block">
Pentru $N=10$ se ob\c tine $2a+11 = 403$, cu $a = 196$. Deci avem suma de $10$ numere consecutive
Pentru <math>N=10<math> se ob\c tine <math>2a+11 = 403<math>, cu <math>a = 196<math>. Deci avem suma de <math>10<math> numere consecutive
\begin{equation}
<math display="block">
\label{eq4cls6}
\label{eq4cls6}
197+198+\ldots+206=2015.
197+198+\ldots+206=2015.
\end{equation}
</math display="block">
Pentru $N=13$ se ob\c tine $2a+14 = 310$, cu $a = 148$. Deci avem suma cu $13$ termeni, numere consecutive
Pentru <math>N=13<math> se ob\c tine <math>2a+14 = 310<math>, cu <math>a = 148<math>. Deci avem suma cu <math>13<math> termeni, numere consecutive
\begin{equation}
<math display="block">
\label{eq5cls6}
\label{eq5cls6}
149+150+\ldots+161=2015.
149+150+\ldots+161=2015.
\end{equation}
</math display="block">
Pentru $N=26$ se ob\c tine $2a+27 = 155$, cu $a = 64$. Deci avem suma de $26$ de numere consecutive
Pentru <math>N=26<math> se ob\c tine <math>2a+27 = 155<math>, cu <math>a = 64<math>. Deci avem suma de <math>26<math> de numere consecutive
\begin{equation}
<math display="block">
\label{eq6cls6}
\label{eq6cls6}
65+66+\ldots+67=2015.
65+66+\ldots+67=2015.
\end{equation}
</math display="block">
Pentru $N=31$ se ob\c tine $2a+32 = 130$, cu $a = 49$. Deci avem suma de $31$ de numere consecutive
Pentru <math>N=31<math> se ob\c tine <math>2a+32 = 130<math>, cu <math>a = 49<math>. Deci avem suma de <math>31<math> de numere consecutive
\begin{equation}
<math display="block">
\label{eq8cls6}
\label{eq8cls6}
50+51+\ldots+80=2015.
50+51+\ldots+80=2015.
\end{equation}
</math display="block">
Pentru $N=62$ se ob\c tine $2a+63 = 65$, cu $a = 1$. Deci avem suma de $62 $ de numere consecutive
Pentru <math>N=62<math> se ob\c tine <math>2a+63 = 65<math>, cu <math>a = 1<math>. Deci avem suma de <math>62 <math> de numere consecutive
\begin{equation}
<math display="block">
\label{eq7cls6}
\label{eq7cls6}
2+3+\ldots+63=2015.
2+3+\ldots+63=2015.
\end{equation}
</math display="block">


'''Soluția 2'''
'''Soluția 2'''

Revision as of 07:39, 9 January 2024

S:E15.208 (Angela Lopată)

Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma .

Soluția 1 Fie și numere naturale pentru care

În mod echivalent, se obține , deci
Din , avem . Cum , se deduce c\u a .

Din <math>N | 4030<math> \c si <math>N\le 63<math> rezult\u a <math>N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}<math>. \\ Pentru <math>N=2<math> se ob\c tine <math>2a+3 = 2015<math>, cu <math>a =1006<math>. Deci avem suma de două umere consecutive <math display="block"> \label{eq2cls6} 1007+1008=2015. </math display="block"> 

Pentru <math>N=5<math> se ob\c tine <math>2a+6 = 806<math>, cu <math>a = 400<math>. Deci avem suma de <math>5<math> numere consecutive

<math display="block"> \label{eq3cls6} 401+402+403+404+405=2015. </math display="block"> Pentru <math>N=10<math> se ob\c tine <math>2a+11 = 403<math>, cu <math>a = 196<math>. Deci avem suma de <math>10<math> numere consecutive <math display="block"> \label{eq4cls6} 197+198+\ldots+206=2015. </math display="block"> Pentru <math>N=13<math> se ob\c tine <math>2a+14 = 310<math>, cu <math>a = 148<math>. Deci avem suma cu <math>13<math> termeni, numere consecutive <math display="block"> \label{eq5cls6} 149+150+\ldots+161=2015. </math display="block"> Pentru <math>N=26<math> se ob\c tine <math>2a+27 = 155<math>, cu <math>a = 64<math>. Deci avem suma de <math>26<math> de numere consecutive <math display="block"> \label{eq6cls6} 65+66+\ldots+67=2015. </math display="block"> Pentru <math>N=31<math> se ob\c tine <math>2a+32 = 130<math>, cu <math>a = 49<math>. Deci avem suma de <math>31<math> de numere consecutive <math display="block"> \label{eq8cls6} 50+51+\ldots+80=2015. </math display="block"> Pentru <math>N=62<math> se ob\c tine <math>2a+63 = 65<math>, cu <math>a = 1<math>. Deci avem suma de <math>62 <math> de numere consecutive <math display="block"> \label{eq7cls6} 2+3+\ldots+63=2015. </math display="block">

Soluția 2

Retrieved from "http://wiki.universitas.ro/index.php?title=S:E15.208&oldid=9299"