S:E15.208

S:E15.208 (Angela Lopată)

Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma $2015$.

Soluția 1 Fie $a\in \mathbb{N}$ \c si $N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}$ numere naturale pentru care \[\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.\] \^ In mod echivalent, se ob\c tine $Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015$, deci \begin{equation} \label{eq1cls6} N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015. \end{equation} Din $a\ge 0$, avem $N\left(N+1\right)\le N\left(2a+1+N\right) = 2024$. Cum $63\cdot 64 \le 4030 \le 64\cdot 65$, se deduce c\u a $N\le 63$. \\ Din $N | 4030$ \c si $N\le 63$ rezult\u a $N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}$. \\ Pentru $N=2$ se ob\c tine $2a+3 = 2015$, cu $a =1006$. Deci avem suma de două umere consecutive \begin{equation} \label{eq2cls6} 1007+1008=2015. \end{equation}

Pentru $N=5$ se ob\c tine $2a+6 = 806$, cu $a = 400$. Deci avem suma de $5$ numere consecutive

\begin{equation} \label{eq3cls6} 401+402+403+404+405=2015. \end{equation} Pentru $N=10$ se ob\c tine $2a+11 = 403$, cu $a = 196$. Deci avem suma de $10$ numere consecutive \begin{equation} \label{eq4cls6} 197+198+\ldots+206=2015. \end{equation} Pentru $N=13$ se ob\c tine $2a+14 = 310$, cu $a = 148$. Deci avem suma cu $13$ termeni, numere consecutive \begin{equation} \label{eq5cls6} 149+150+\ldots+161=2015. \end{equation} Pentru $N=26$ se ob\c tine $2a+27 = 155$, cu $a = 64$. Deci avem suma de $26$ de numere consecutive \begin{equation} \label{eq6cls6} 65+66+\ldots+67=2015. \end{equation} Pentru $N=31$ se ob\c tine $2a+32 = 130$, cu $a = 49$. Deci avem suma de $31$ de numere consecutive \begin{equation} \label{eq8cls6} 50+51+\ldots+80=2015. \end{equation} Pentru $N=62$ se ob\c tine $2a+63 = 65$, cu $a = 1$. Deci avem suma de $62 $ de numere consecutive \begin{equation} \label{eq7cls6} 2+3+\ldots+63=2015. \end{equation}

Soluția 2