S:L15.228: Difference between revisions

Latest revision as of 18:42, 7 January 2024

S:L15.228 (Iulian Bunu)

Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ , cu $a_{1}=5$ , $a_{2}=7$ , $a_{3}=10$ și $a_{n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n-1}-a_{n}$ pentru orice $n>3$

și $\left(b_{n}\right)_{n\geq 1}$ , cu $b_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}$ .

Calculați $\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {b_{2n}}{b_{2n+1}}}$

Soluție

Folosind inducția matematică se demonstrează că $a_{2n}=2^{n-1}$ oricare ar fi $n\geq 1$ și $a_{2n+1}=5\cdot 2^{n}$ oricare ar fi $n\geq 0$ .

Avem

b_{2n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{2n}=a_{2n+1}+a_{2n+2}

și

b_{2n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{2n+1}=a_{2n+2}+a_{2n+3}

Atunci

\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {b_{2n}}{b_{2n+1}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {5\cdot 2^{n}+2^{n}}{2^{n}+5\cdot 2^{n+1}}}={\dfrac {6}{11}}.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''S:L15.228 (Iulian Bunu)'''
+''Fie șirul de numere reale'' <math> \left(a_n \right)_{n\ge 1}</math>, ''cu'' <math>a_1=5</math>, <math>a_2 = 7 </math>, <math>a_3 =10 </math> ''și'' <math>a_{n+1} = a_1+a_2+\ldots + a_{n-1} - a_n </math> p''entru orice'' <math>n>3</math>
+''și'' <math> \left(b_n \right)_{n\ge 1}</math>, cu <math> b_n  = \sum\limits_{k=1}^n a_k</math>.
+''Calculați'' <math> \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{b_{2n}}{b_{2n+1}}</math>
+'''Soluție'''
+Folosind inducția matematică se demonstrează că <math> a_{2n} = 2^{n-1} </math> oricare ar fi <math> n\ge 1</math> și <math> a_{2n+1} = 5 \cdot 2^{n} </math> oricare ar fi <math> n\ge 0 </math>.
+Avem <math display="block"> b_{2n} = a_1+a_2+\ldots + a_{2n} = a_{2n+1} + a_{2n+2}</math>și<math display="block"> b_{2n+1} = a_1+a_2+\ldots + a_{2n+1} = a_{2n+2} + a_{2n+3}</math>Atunci<math display="block"> \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{b_{2n}}{b_{2n+1}} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{5\cdot 2^n + 2^n}{2^n + 5\cdot 2^{n+1}} = \dfrac{6}{11}.</math>