E:14336: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 7: | Line 7: | ||
'''Soluție.''' | '''Soluție.''' | ||
'' Presupunem că''<math> f(0)=c\neq0.</math>''Atunci, pentru ''<math>y = 0</math> ''relația din enunț devine'' <math>f(x)-c=acxf(x).</math>''Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice''<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br> | '' Presupunem că''<math> f(0)=c\neq0.</math>'' Atunci, pentru ''<math>y = 0</math> ''relația din enunț devine'' <math>f(x)-c=acxf(x).</math>''Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice''<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br> | ||
''Într-adevăr, pentru'' <math>x=\frac{1}{ac}</math> ''obținem'' <math>c=0</math>,'' în contradicție cu presupunerea făcută,'' <math>c\neq0.</math>. ''Rezultă așadar, că'' <math>f(0)=0.</math> ''De aici, luând'' <math>y=0</math> ''obținem'' <math>f(x)=0,</math>''singura funcție care verifică relația dată.'' | ''Într-adevăr, pentru'' <math>x=\frac{1}{ac}</math> ''obținem'' <math>c=0</math>,'' în contradicție cu presupunerea făcută,'' <math>c\neq0.</math>. ''Rezultă așadar, că'' <math>f(0)=0.</math> ''De aici, luând'' <math>y=0</math> ''obținem'' <math>f(x)=0,</math>''singura funcție care verifică relația dată.'' | ||
Revision as of 21:14, 27 December 2023
S:E14336 (Gh. Szöllösy)
Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a}
și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b}
două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}
cu proprietatea: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y),}
pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y}
numere reale.
Soluție.
Presupunem căFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)=c\neq0.}
Atunci, pentru relația din enunț devine Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice
Într-adevăr, pentru obținem , în contradicție cu presupunerea făcută, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\neq0.}
. Rezultă așadar, că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)=0.}
De aici, luând Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=0}
obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=0,}
singura funcție care verifică relația dată.
