E:14336: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 2: | Line 2: | ||
<br> | <br> | ||
''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. | ''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile'' <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>'' cu proprietatea:'' <math display="block">f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y),</math><br> | ||
''pentru orice <math>x</math> și <math>y</math> numere reale. | ''pentru orice'' <math>x</math> și <math>y</math> numere reale. | ||
'''Soluție.''' | '''Soluție.''' | ||
'' Presupunem că<math> f(0)=c\neq0.</math>Atunci, pentru <math>y = 0</math> relația din enunț devine <math>f(x)-c=acxf(x).</math>Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br> | '' Presupunem că''<math> f(0)=c\neq0.</math>''Atunci, pentru ''<math>y = 0</math> ''relația din enunț devine'' <math>f(x)-c=acxf(x).</math>''Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice''<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br> | ||
Într-adevăr, pentru <math>x= | ''Într-adevăr, pentru'' <math>x=\frac{1}{ac}</math> ''obținem'' <math>c=0</math>,'' în contradicție cu presupunerea făcută,'' <math>c\neq0.</math>. ''Rezultă așadar, că'' <math>f(0)=0.</math> ''De aici, luând'' <math>y=0</math> ''obținem'' <math>f(x)=0,</math>''singura funcție care verifică relația dată.'' | ||
Revision as of 21:14, 27 December 2023
S:E14336 (Gh. Szöllösy)
Fie și două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile cu proprietatea:
pentru orice și numere reale.
Soluție.
Presupunem căAtunci, pentru relația din enunț devine Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice
Într-adevăr, pentru obținem , în contradicție cu presupunerea făcută, . Rezultă așadar, că De aici, luând obținem singura funcție care verifică relația dată.
