E:14228: Difference between revisions

Latest revision as of 01:33, 24 October 2023

E:14228 (Mihai Vijdeluc)

Arătați că nu există niciun număr de forma ${\overline {abc}}$ cu proprietatea că ${\sqrt {\overline {abc}}}={\sqrt {\overline {bc}}}+a$

Soluție: Ridicăm relația la pătrat și obținem ${\overline {abc}}={\overline {bc}}+a^{2}+2a{\sqrt {\overline {bc}}}$ , echivalentă cu

100a+10b+c=10b+c+a^{2}+2a{\sqrt {\overline {bc}}}

ceea ce revine la

100=a+2{\sqrt {\overline {bc}}}.

Valorile maxime pentru

a

și

{\overline {bc}}

sunt 9, respectiv 99, de unde

a+2{\sqrt {\overline {bc}}}<9+2\cdot 10

, adică

100<29

, contradicție.

În concluzie, nu există numere de forma ${\overline {abc}}$ cu proprietatea din enunț.

@@ Line 4: / Line 4: @@
 '''Soluție:'''
-Ridicăm relația la patrat și obținem <math>\overline{abc} = \overline{bc} + a^2 + 2a\sqrt{\overline{bc}}</math>, echivalentă cu <math>100a + 10b + c = 10b + c + a^2 + 2a\sqrt{\overline{bc}}</math> sau <math>100 = a + 2\sqrt{\overline{bc}}</math>. Valorile maxime pentru <math>a</math> și <math>\overline{bc}</math> sunt 9, respectiv 99, de unde <math>a + 2\sqrt{\overline{bc}} < 9 + 2 \cdot 10</math>, adică <math>100 < 29</math>, contradicție.
+Ridicăm relația la pătrat și obținem <math>\overline{abc} = \overline{bc} + a^2 + 2a\sqrt{\overline{bc}}</math>, echivalentă cu <math display="block">100a + 10b + c = 10b + c + a^2 + 2a\sqrt{\overline{bc}}</math>ceea ce revine la <math display="block">100 = a + 2\sqrt{\overline{bc}}.</math>Valorile maxime pentru <math>a</math> și <math>\overline{bc}</math> sunt 9, respectiv 99, de unde <math>a + 2\sqrt{\overline{bc}} < 9 + 2 \cdot 10</math>, adică <math>100 < 29</math>, contradicție.
 În concluzie, nu există numere de forma <math>\overline{abc}</math> cu proprietatea din enunț.