E:16382: Difference between revisions

Latest revision as of 14:27, 1 November 2024

E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Afișați numerele întregi pozitive ${\overline {abcd}}$ cu proprietatea

a^{7}+a^{b}+a^{c}+a^{d}={\overline {a000}}.

Soluție

Deoarece $4^{7}>9999$ și $1^{7}+1^{b}+1^{c}+1^{d}<1000$ , avem $a=2$ sau $a=3$ .

Egalitatea din enunț corespunde scrierii numărului ${\overline {a000}}$ în baza $a$ .

Cum $2000=11111010000_{2}$ , $a=2$ nu convine.

De asemenea, $3000=101010010_{3}$ corespunde egalității din enunț

3000=3^{7}+3^{5}+3^{4}+3^{2}\cdot 2^{2}.

Prin urmare, avem soluțiile

b=6

,

c=4

,

d=1

și permutările acestora.

Se obțin numerele întregi pozitive:

\{{3641},{3614},{3461},{3416},{3164},{3146}\}.

Revision as of 12:29, 16 January 2024 edit Andrei.Horvat (talk \| contribs) 384 edits No edit summary Tag: Visual edit ← Older edit		Latest revision as of 14:27, 1 November 2024 edit undo Andrei.Horvat (talk \| contribs) 384 edits No edit summary
Line 2:		Line 2:

	''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea''<math display="block">a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>'''Soluție'''		''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea''<math display="block">a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>'''Soluție'''


	Deoarece <math>4^7 > 9999</math> și <math>1^7 + 1^b + 1^c + 1^d < 1000</math>, avem <math>a = 2</math> sau <math>a = 3</math>.		Deoarece <math>4^7 > 9999</math> și <math>1^7 + 1^b + 1^c + 1^d < 1000</math>, avem <math>a = 2</math> sau <math>a = 3</math>.