E:15345: Difference between revisions

Revision as of 15:35, 20 August 2025

E:15345 (Călin Dănuț Hossu, Baia Mare)

Determinați numerele ${\overline {xyz}}$ , scrise în baza $10$ , știind că $x^{y+z}+x^{y}+x^{z}-584=0$ .

Soluție

Ecuația se scrie în mod echivalent

x^{y}\cdot x^{z}+x^{y}+x^{z}=584,

ceea ce conduce la

x^{y}\cdot x^{z}+x^{y}+x^{z}=585.

De aici avem

x^{y}\cdot (x^{z}+1)+(x^{z}+1)=585

, de unde rezultă

(x^{y}+1)\cdot (x^{z}+1)=585.

Deoarece

585

este număr impar deducem că cele două paranteze sunt numere impare; mai mult

x

este număr par.

Cum $585=3\cdot 195=5\cdot 117=9\cdot 65=13\cdot 45=15\cdot 39$ putem avea $x^{y}+1=3$ și $x^{z}+1=195;x^{y}+1=5$ și $x^{z}+1=117;x^{y}+1=9$ și $x^{z}+1=65;x^{y}+1=13$ și $x^{z}+1=45;x^{y}+1=15$ și $x^{z}+1=39$ , sau invers.

Soluții naturale obținem numai pentru $x^{y}+1=9$ sau $x^{y}+1=65$ .

Găsim $x=2,y=3,z=6$ , sau $x=2,y=6,z=3$

@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție'''
-Ecuația se scrie în mod echivalent
+Ecuația se scrie în mod echivalent<math display="block"> x^y \cdot x^z + x^y + x^z = 584,</math>ceea ce conduce la  <math display="block">x^y \cdot x^z + x^y + x^z= 585.</math>De aici avem <math>x^y \cdot(x^z+1) + (x^z + 1) = 585</math>, de unde rezultă <math display="block">(x^y + 1) \cdot (x^z + 1) = 585.</math>Deoarece <math>585</math> este număr impar deducem că cele două paranteze sunt numere impare; mai mult <math>x</math> este număr par.
-<math> x^y \cdot x^z + x^y + x^z = 584</math>,
+Cum <math> 585 = 3 \cdot 195 = 5 \cdot 117 = 9 \cdot 65 = 13 \cdot 45 = 15 \cdot 39</math> putem avea <math>x^y + 1 = 3</math> și <math> x^z + 1 = 195; x^y + 1 = 5 </math> și <math> x^z + 1 = 117; x^y + 1 = 9 </math> și <math> x^z + 1 = 65; x^y + 1 = 13 </math> și <math> x^z + 1 = 45; x^y + 1 = 15 </math> și <math> x^z + 1 = 39 </math>, sau invers.
-sau <math>x^y \cdot x^z + x^y + x^z= 585.</math>
-De aici
+Soluții naturale obținem numai pentru <math> x^y + 1 = 9 </math> sau <math> x^y + 1 = 65 </math>.
-<math>x^y \cdot(x^z+1) + (x^z + 1) = 585</math>
-sau <math>(x^y + 1) \cdot (x^z + 1) = 585.</math>
-Deoarece <math>585</math> este număr impar deducem că cele două paranteze sunt numere impare; mai mult <math>x</math> este număr par. Cum <math> 585 = 3 \cdot 195 = 5 \cdot 117 = 9 \cdot 65 = 13 \cdot 45 = 15 \cdot 39</math> putem avea <math>x^y + 1 = 3</math> și <math> x^z + 1 = 195; x^y + 1 = 5 </math> și <math> x^z + 1 = 117; x^y + 1 = 9 </math> și <math> x^z + 1 = 65; x^y + 1 = 13 </math> și <math> x^z + 1 = 45; x^y + 1 = 15 </math> și <math> x^z + 1 = 39 </math>, sau invers. Soluții naturale obținem numai pentru <math> x^y + 1 = 9 </math> sau <math> x^y + 1 = 65 </math>.
 Găsim <math> x = 2, y = 3, z = 6 </math>, sau <math> x = 2, y = 6, z = 3 </math>