E:14336: Difference between revisions

Revision as of 18:45, 12 January 2025

E:14336 (Gh. Szöllösy)

Fie $a$ și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),

pentru orice

x

și

y

numere reale.

Soluție.

Presupunem că $f(0)=c\neq 0.$ Atunci, pentru $y=0$ relația din enunț devine

f(x)-c=acxf(x)

. Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice

x\in \mathbb {R}

. Într-adevăr, pentru

x={\frac {1}{ac}}

obținem

c=0

, în contradicție cu presupunerea făcută,

c\neq 0

.

Rezultă așadar, că $f(0)=0$ . De aici, luând $y=0$ obținem $f(x)=0$ , singura funcție care verifică relația dată.

@@ Line 6: / Line 6: @@
 '''Soluție.'''
-Presupunem că<math> f(0)=c\neq0.</math> Atunci, pentru <math>y = 0</math> relația din enunț devine <math display="block">f(x)-c=acxf(x).</math>Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice<math>x\in \mathbb{R}.</math> Într-adevăr, pentru <math>x=\frac{1}{ac}</math> obținem <math>c=0</math>, în contradicție cu presupunerea făcută, <math>c\neq0.</math>
+Presupunem că<math> f(0)=c\neq0.</math> Atunci, pentru <math>y = 0</math> relația din enunț devine <math display="block">f(x)-c=acxf(x)</math>. Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice <math>x\in \mathbb{R}</math>.  Într-adevăr, pentru <math>x=\frac{1}{ac}</math> obținem <math>c=0</math>, în contradicție cu presupunerea făcută, <math>c\neq 0</math>.
-Rezultă așadar, că <math>f(0)=0.</math> De aici, luând <math>y=0</math> obținem <math>f(x)=0,</math> singura funcție care verifică relația dată.
+Rezultă așadar, că <math>f(0)=0</math>. De aici, luând <math>y=0</math> obținem <math>f(x)=0</math>, singura funcție care verifică relația dată.