28206: Difference between revisions

Revision as of 09:28, 3 January 2025

28206 (Dana Heuberger)

Fie $\left(G,\cdot \right)$ un grup cu elementul neutru $e$ care conține subgrupurile proprii, distincte, finite $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ , astfel încât pentru orice permutare $\sigma \in S_{3}$ și orice $a\in H_{\sigma \left(1\right)}\setminus \left\{e\right\}$ , $b\in H_{\sigma \left(2\right)}\setminus \left\{e\right\}$ , rezultă că $ab\in H_{\sigma \left(3\right)}$ .

Arătați că subgrupurile $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ au același număr de elemente.
Dacă $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$ , arătați că grupul $G$ este de tip Klein.

Soluție.

a) Pentru orice subgrup $H$ a lui $G$ , notăm $H^{\ast }=H\setminus \left\{e\right\}$ .

Presupunem că

@@ Line 5: / Line 5: @@
 <ol type="a"><li>
   ''Arătați că subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> au același număr de elemente.'' </li>
-<li>  ''Dacă'' <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math>, ''arătați că grupul <math>G</math> este de [https://ro.wikipedia.org/wiki/Grupul_lui_Klein tip Klein]''.</li>''
+<li>  ''Dacă'' <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math>, ''arătați că grupul <math>G</math> este de [https://ro.wikipedia.org/wiki/Grupul_lui_Klein tip Klein]''.</li></ol>
+Soluție.
+a) Pentru orice subgrup <math>H</math> a lui <math>G</math>, notăm <math>H^\ast = H \setminus \left\{e\right\}</math>.
+Presupunem că