15324

E:15324 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați cifrele nenule $x$ și $y$ pentru care ${\frac {y^{3}}{x^{3}}}-{\frac {\overline {xy}}{x}}=2\left({\frac {\overline {xy}}{x}}-16\right)$.

Soluție. Avem:

${\frac {y^{3}}{x^{3}}}-3{\frac {y}{x}}+32=0$ și, cum ${\frac {\overline {xy}}{x}}={\frac {10x+y}{x}}=10+{\frac {y}{x}}$, obținem:

${\frac {y^{3}}{x^{3}}}-3{\frac {y}{x}}+2=0$. Notăm ${\frac {y}{x}}=t>0$ și obținem ecuația $t^{3}-3t+2=0$ cu soluțiile:

$t=1$ și $t=-2$. Din ${\frac {y}{x}}=1$ obținem $x=y$, de unde perechile de cifre posibile sunt:

$(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8)$ sau $(9,9)$.