E:14742

E:14742 (Liliana Puț)

a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a$, $b$, $c$ avem

$$|a+b|+|a+c|\geq |b-c|.$$

b) Demonstrați că pentru orice număr real $x$ avem

$$|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2014|\geq 1007^{2}.$$

Soluție

a) Arătăm că $|x|+|y|\geq |x-y|$, (1).

Cum $|x-y|=|y-x|$, relația (1) este simetrică în $x$ și $y$ și este suficient să analizăm cazul $x\geq y$. Mai mult, deoarece $|x|=|-x|$, vom analiza numai cazul $x\geq 0$ și $y\geq 0$. În acest caz, inegalitate $x+y\geq x-y$ conduce la $y\geq 0$, care este adevărată. Luând $x=a+b$ și $y=a+c$, obținem inegalitatea din enunț.

b) Membrul stâng al inegalității are $2014$ termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem

$$|x+2015-k|+|x+k|\geq |x+2015-k-x-k|=2015-2k,$$

pentru orice $k\in \{1,3,5,...,1007\}$. Astfel, suma este mai mare sau egală cu

$$2013+2011+...+1=(2013+1)+(2011+3)+...+(1009+1005)+1007=2014\cdot 503+1007=1007^{2}$$

.