E:14742: Difference between revisions

Revision as of 18:40, 16 January 2024

E:14742 (Liliana Puț)

a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a$ , $b$ , $c$ avem

          $|a+b|+|a+c|\geq |b-c|.$

b) Demonstrați că pentru orice număr real $x$ avem

          $|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2014|\geq 1007^{2}.$

Soluție

a) Arătăm că $|x|+|y|\geq |x-y|$ , (1).

Cum $|x-y|=|y-x|$ , relația (1) este simetrică în $x$ și $y$ și este suficient să analizăm cazul $x\geq y$ . Mai mult, deoarece $|x|=|-x|$ , vom analiza numai cazul $x\geq 0$ și $y\geq 0$ . În acest caz, inegalitate $x+y\geq x-y$ conduce la $y\geq 0$ , care este adevărată. Luând $x=a+b$ și $y=a+c$ , obținem inegalitatea din enunț.

b) Membrul stâng al inegalității are $2014$ termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem

|x+2015-k|+|x+k|\geq |x+2015-k-x-k|=2015-2k,

pentru orice

k\in \{1,3,5,...,1007\}

. Astfel, suma este mai mare sau egală cu

2013+2011+...+1=(2013+1)+(2011+3)+...+(1009+1005)+1007=2014\cdot 503+1007=1007^{2}

.

@@ Line 2: / Line 2: @@
 ''a) Arătați că oricare ar fi numerele reale <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> avem''
-           <math>|a + b| + |a + c| ≥ |b - c|.</math>
+           <math display="block">|a + b| + |a + c| \ge |b - c|.</math>
-''b) Demonstrați că pentru orice număr real <math>x</math> avem
+''b) Demonstrați că pentru orice număr real <math>x</math> avem''
-           <math display="block">|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ... + |x + 2014| \ge 1007^2</math>.''
+           <math display="block">|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ... + |x + 2014| \ge 1007^2.</math>
 '''Soluție'''
@@ Line 10: / Line 10: @@
 a) Arătăm că <math>|x| + |y| \ge |x - y|</math>, (1).
-Cum <math>|x - y| = |y - x|</math>, relația (1) este simetrică în <math>x</math> și <math>y</math> și este suficient să analizăm cazul <math>x \ge y</math>. Mai mult, deoarece <math>|x| = | - x|</math>, vom analiza numai cazul <math>x \ge 0</math> și <math>y \ge 0</math>. În acest caz, inegalitate <math>x + y \ge x - y</math> conduce la <math>y ≥ 0</math>, care este adevărată. Luând <math>x = a + b</math> și <math>y = a + c</math>, obținem inegalitatea din enunț.
+Cum <math>|x - y| = |y - x|</math>, relația (1) este simetrică în <math>x</math> și <math>y</math> și este suficient să analizăm cazul <math>x \ge y</math>. Mai mult, deoarece <math>|x| = | - x|</math>, vom analiza numai cazul <math>x \ge 0</math> și <math>y \ge 0</math>. În acest caz, inegalitate <math>x + y \ge x - y</math> conduce la <math>y \ge 0</math>, care este adevărată. Luând <math>x = a + b</math> și <math>y = a + c</math>, obținem inegalitatea din enunț.
-b) Membrul stâng al inegalității are 2014 termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem |x + 2015 - k| + |x + k| ≥ |x + 2015 - k - x - k| = 2015 - 2k, pentru orice k ∈ {1, 3, 5, ... , 1007}. Astfel, suma este mai mare sau egală cu 2013 + 2011 + ... + 1 = (2013 + 1) + (2011 + 3) + ... + (1009 + 1005) + 1007 = 2014 • 503 + 1007 = <math>1007^2</math>.
+b) Membrul stâng al inegalității are <math>2014</math> termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem <math display="block">|x + 2015 - k| + |x + k| \ge |x + 2015 - k - x - k| = 2015 - 2k,</math> pentru orice <math>k \in \{1, 3, 5, ... , 1007\}</math>. Astfel, suma este mai mare sau egală cu <math display="block">2013 + 2011 + ... + 1 = (2013 + 1) + (2011 + 3) + ... + (1009 + 1005) + 1007 = 2014 \cdot 503 + 1007 = 1007^2</math>.