E:14742: Difference between revisions

Revision as of 18:34, 16 January 2024

E:14742 (Liliana Puț)

a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a<math/>,<math>b$ , $c$ avem

         Failed to parse (syntax error): {\displaystyle |a + b| + |a + c| ≥ |b - c|.<math> ''b) Demonstrați că pentru orice număr real <math>x}
 avem
          $|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2014|\geq 1007^{2}$ .

Soluție

a) Arătăm că $|x|+|y|\geq |x-y|$ , (1).

Cum $|x-y|=|y-x|$ , relația (1) este simetrică în $x$ și $y$ și este suficient să analizăm cazul $x\geq y$ . Mai mult, deoarece $|x|=|-x|$ , vom analiza numai cazul $x\geq 0$ și $y\geq 0$ . În acest caz, inegalitate $x+y\geq x-y$ conduce la Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y ≥ 0} , care este adevărată. Luând $x=a+b$ și $y=a+c$ , obținem inegalitatea din enunț.

b) Membrul stâng al inegalității are 2014 termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem |x + 2015 - k| + |x + k| ≥ |x + 2015 - k - x - k| = 2015 - 2k, pentru orice k ∈ {1, 3, 5, ... , 1007}. Astfel, suma este mai mare sau egală cu 2013 + 2011 + ... + 1 = (2013 + 1) + (2011 + 3) + ... + (1009 + 1005) + 1007 = 2014 • 503 + 1007 = $1007^{2}$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''E:14742 (Liliana Puț, Sighetul Marmației)'''
+'''E:14742 (Liliana Puț)'''
-''a) Arătati că oricare ar fi numerele reale a, b, c avem
+''a) Arătați că oricare ar fi numerele reale <math>a<math/>, <math>b</math>, <math>c</math> avem''
-           |a + b| + |a + c| ≥ |b - c|.''
+           <math>|a + b| + |a + c| ≥ |b - c|.<math>
-''b) Demonstrați că pentru orice număr real X avem
+''b) Demonstrați că pentru orice număr real <math>x</math> avem
-           |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ... + |x + 2014| ≥ <math>1007^2</math>.''
+           <math>|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ... + |x + 2014| \ge 1007^2</math>.''
 '''Soluție'''
-a) Arătăm că |x| + |y| ≥ |x - y|, (1). Cum |x - y| = |y - x|, relația (1) este simetrică în x și y și este suficient să analizăm cazul x ≥ y. Mai mult, deoarece |x| = | - x|, vom analiza numai cazul x ≥ 0 și y ≥ 0, iar în acest caz x + y ≥ x - y conduce la y ≥ 0, care este adevărată. Luând x = a + b și y = a + c, obținem inegalitatea din enunț.
+a) Arătăm că <math>|x| + |y| \ge |x - y|</math>, (1).
+Cum <math>|x - y| = |y - x|</math>, relația (1) este simetrică în <math>x</math> și <math>y</math> și este suficient să analizăm cazul <math>x \ge y</math>. Mai mult, deoarece <math>|x| = | - x|</math>, vom analiza numai cazul <math>x \ge 0</math> și <math>y \ge 0</math>. În acest caz, inegalitate <math>x + y \ge x - y</math> conduce la <math>y ≥ 0</math>, care este adevărată. Luând <math>x = a + b</math> și <math>y = a + c</math>, obținem inegalitatea din enunț.
 b) Membrul stâng al inegalității are 2014 termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem |x + 2015 - k| + |x + k| ≥ |x + 2015 - k - x - k| = 2015 - 2k, pentru orice k ∈ {1, 3, 5, ... , 1007}. Astfel, suma este mai mare sau egală cu 2013 + 2011 + ... + 1 = (2013 + 1) + (2011 + 3) + ... + (1009 + 1005) + 1007 = 2014 • 503 + 1007 = <math>1007^2</math>.