E:16382: Difference between revisions

Revision as of 12:23, 16 January 2024

E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Afișați numerele întregi pozitive ${\overline {abcd}}$ cu proprietatea

a^{7}+e^{d}+ad={\overline {a000}}.

Soluție Deoarece

4^{7}>9999

și

1^{7}+a^{b}+a^{c}+a^{d}<1000

, avem

a=2

sau

a=3

.

Egalitatea din enunț corespunde scrierii numărului ${\overline {a000}}$ în baza $a$ .

Cum $2000=11111010000_{2}$ , $a=2$ nu convine.

De asemenea, $3000=10101001000_{2}$ corespunde egalității din enunț

3000=3^{7}+3^{5}+3^{4}+3^{2}\cdot 2^{2}.

Prin urmare, avem soluțiile

b=6

,

c=4

,

d=1

și permutările acestora.

Se obțin numerele întregi pozitive:

\{{3641},{3614},{3461},{3461},{3164},{3146}\}.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
-Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea<math display="block">a^7 + e^d + ad = \overline{a000}.</math>'''Soluție'''
+''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea''<math display="block">a^7 + e^d + ad = \overline{a000}.</math>'''Soluție'''
-Deoarece <math>4^7 > 9999</math> și <math>1^7 + a^b + a^c + a^d < 1000</math>, avem <math>a = 2</math> sau <math>a = 3</math>. Egalitatea din enunț corespunde scrierii numărului <math>\overline{a000}</math> în baza <math>a</math>.
+Deoarece <math>4^7 > 9999</math> și <math>1^7 + a^b + a^c + a^d < 1000</math>, avem <math>a = 2</math> sau <math>a = 3</math>.
+Egalitatea din enunț corespunde scrierii numărului <math>\overline{a000}</math> în baza <math>a</math>.
 Cum <math>2000 = 11111010000_2</math>, <math>a=2</math> nu convine.