27795: Difference between revisions

Revision as of 10:06, 16 January 2024

S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} un număr natural care nu este multiplu de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} un grup necomutativ de ordin $n$ . Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui $G$ care au aceleași puncte fixe.

Soluție:

Pentru orice $a\in G$ , funcția $f_{a}:G\rightarrow G,f_{a}(x)=axa^{-1}$ este un automorfism. Un element $x_{0}\in G$ este punct fix al automorfismului $f_{a}$ dacă și numai dacă $f_{a}(x_{0})$ , echivalent cu $x_{0}a=ax_{0}$ sau, cu alte cuvinte, cu $x_{0}\in C(a)$ (centralizatorul lui a).

În particular, deoarece $C(a)=C(a^{-1})$ , pentru orice $a\in G$ , automorfismele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a } și au aceleași puncte fixe, deci este suficient să arătăm că există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in G} astfe încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a \neq f_{a^{-1}}} .

Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a \neq f_{a^{-1}}} , atunci, pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in G} avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle axa^{-1} = a^{-1}xa} , adică Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2x = xa^2} , ceea ce revine la Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 \in Z(G)} . Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 \in Z(G)} pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in Z(G)} , iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z(G) \neq G} , vom demonstra că există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in G \backslash Z(G)} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 \notin Z(G)} . Să observăm că dacă ordinul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} al unui element Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in G \backslash Z(G)} este număr impar, atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 \neq Z(G)} , deoarece, presupunând contrariul, din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 \in Z(G)} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^p = e \in Z(G)} , ar rezulta că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{(2, p)} \in Z(G)} , adică Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in Z(G)} , contradicție. Așadar, este suficient să arătăm că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \backslash Z(G)} conține cel puțin un element de ordin impar.

Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |G|} este număr impar, atunci orice element din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} , implicit și din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \backslash Z(G)} , are ordin impar. Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |G|} este număr par, atunciFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |G| =4n +2} , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \N^*} . Notând Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \{x \in G | x^{2n+1} = e\}} , se știe că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |A| = 2n +1} . Elementele lui A au ordin impar și, cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} este necomutativ, avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Z(G)| \leq \frac{1}{4} |G| < |A|} , deci eistă elemente de ordin impar care nu aparțin lui Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z(G)} .

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)'''
-''Fie n un număr natural care nu este multiplu de 4 și G un grup necomutativ de ordin n. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui G care au aceleași puncte fixe.''
+''Fie'' <math>n</math> ''un număr natural care nu este multiplu de <math>4</math> și <math>G</math> un grup necomutativ de ordin <math>n</math>. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui <math>G</math> care au aceleași puncte fixe.''
 '''Soluție:'''
-''Pentru orice '''a Є G''', funcția'' '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai dacă '''<math>f_a(x_0)</math>''', echivalent cu '''<math>x_0a = ax_0</math>''' sau, cu alte cuvinte, cu '''<math>x_0 \in C(a)</math>''' (centralizatorul lui a).
+''Pentru orice <math>a \in G</math>, funcția'' '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai dacă '''<math>f_a(x_0)</math>''', echivalent cu '''<math>x_0a = ax_0</math>''' sau, cu alte cuvinte, cu '''<math>x_0 \in C(a)</math>''' (centralizatorul lui a).
 În particular, deoarece <math>C(a) = C(a^{-1})</math>, pentru orice <math>a \in G</math>, automorfismele <math>f_a