E:14336: Difference between revisions

Revision as of 21:14, 27 December 2023

S:E14336 (Gh. Szöllösy)

Fie $a$ și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),

pentru orice

x

și

y

numere reale.

Soluție.

Presupunem că $f(0)=c\neq 0.$ Atunci, pentru $y=0$ relația din enunț devine $f(x)-c=acxf(x).$ Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice $x\in \mathbb {R} .$
Într-adevăr, pentru $x={\frac {1}{ac}}$ obținem $c=0$ , în contradicție cu presupunerea făcută, $c\neq 0.$ . Rezultă așadar, că $f(0)=0.$ De aici, luând $y=0$ obținem $f(x)=0,$ singura funcție care verifică relația dată.

Revision as of 21:14, 27 December 2023 edit Teglas Bogdan (talk \| contribs) 20 edits No edit summary ← Older edit		Revision as of 21:14, 27 December 2023 edit undo Teglas Bogdan (talk \| contribs) 20 edits No edit summary Newer edit →
Line 8:		Line 8:

	'' Presupunem că''<math> f(0)=c\neq0.</math>'' Atunci, pentru ''<math>y = 0</math> ''relația din enunț devine'' <math>f(x)-c=acxf(x).</math>''Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice''<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br>		'' Presupunem că''<math> f(0)=c\neq0.</math>'' Atunci, pentru ''<math>y = 0</math> ''relația din enunț devine'' <math>f(x)-c=acxf(x).</math>''Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice''<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br>
	''Într-adevăr, pentru'' <math>x=\frac{1}{ac}</math> ''obținem'' <math>c=0</math>,'' în contradicție cu presupunerea făcută,'' <math>c\neq0.</math>. ''Rezultă așadar, că'' <math>f(0)=0.</math> ''De aici, luând'' <math>y=0</math> ''obținem'' <math>f(x)=0,</math>''singura funcție care verifică relația dată.''		''Într-adevăr, pentru'' <math>x=\frac{1}{ac}</math> ''obținem'' <math>c=0</math>,'' în contradicție cu presupunerea făcută,'' <math>c\neq0.</math>. ''Rezultă așadar, că'' <math>f(0)=0.</math> ''De aici, luând'' <math>y=0</math> ''obținem'' <math>f(x)=0,</math>'' singura funcție care verifică relația dată.''