28208: Difference between revisions

Latest revision as of 10:39, 12 November 2023

28208 (Dana Heuberger, Baia Mare)

Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ ortocentrele triunghiurilor $ACD$ , $BDE$ , $CEA$ , $DAB$ , respectiv $EBC$ . Arătați că, dacă $H_{1}H_{2}\parallel AB$ , $H_{2}H_{3}\parallel BC$ , $H_{3}H_{4}\parallel CD$ și $H_{4}H_{5}\parallel DE$ , atunci $ABCDE$ și $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ sunt pentagoane regulate.

Soluție: Fie $O$ centrul cercului circumscris pentagonului $ABCDE$ . Folosind relația lui Sylvester, obținem ${\overrightarrow {OH_{1}}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}$ și ${\overrightarrow {OH_{2}}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OD}}+{\overrightarrow {OE}}.$ Avem ${\overrightarrow {H_{1}H_{2}}}={\overrightarrow {OH_{2}}}-{\overrightarrow {OH_{1}}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CE}}$ și, cum $H_{1}H_{2}\parallel AB,$ rezultă că $AB\parallel CE$ , deci $AE=BC$ și $H_{1}H_{2}=|CE-AB|.$

Analog, din $H_{2}H_{3}\parallel BC,$ obținem $AB=CD$ și $H_{2}H_{3}=|AD-BC|$ , din $H_{3}H_{4}\parallel CD$ deducem că $BC=DE$ și $H_{3}H_{4}=|BE-CD|$ , iar din $H_{4}H_{5}\parallel DE$ rezultă că $CD=AE$ și $H_{4}H_{5}=|AC-DE|.$

Avem $AB=BC=CD=DE=EA$ , prin urmare și arcele de cerc subîntinse de laturile pentagonului sunt congruente, deci și unghiurile poligonului $ABCDE$ sunt congruente. În concluzie, pentagonul $ABCDE$ este regulat.

Din $AE\parallel BD$ și ${\overrightarrow {H_{1}H_{5}}}={\overrightarrow {AE}}+{\overrightarrow {DB}}$ , obținem $H_{1}H_{5}=DB-AE$ și $H_{5}H_{1}\parallel AE.$ Deducem că $H_{1}H_{2}=H_{2}H_{3}=H_{3}H_{4}=H_{4}H_{5}=H_{5}H_{1}$ și că unghiurile lui $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ sunt congruente cu cele ale pentagonului regulat $ABCDE$ , deci $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ este un pentagon regulat.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28208 (Dana Heuberger, Baia Mare)'''
-''Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și <math>H_1, H_2, H_3, H_4, H_5</math> ortocentrele triunghiurilor ACD, BDE, CEA, DAB, respectiv EBC. Arătați că, dacă <math>H_1H_2 \parallel AB</math>, <math>H_2H_3 \parallel BC</math>, <math>H_3H_4 \parallel CD</math> și <math>H_4H_5 \parallel DE</math>, atunci ABCDE și <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt pentagoane regulate.''
+''Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și <math>H_1, H_2, H_3, H_4, H_5</math> ortocentrele triunghiurilor'' <math>ACD</math>'','' <math>BDE</math>'','' <math>CEA</math>'','' <math>DAB</math>'', respectiv'' <math>EBC</math>''. Arătați că, dacă <math>H_1H_2 \parallel AB</math>, <math>H_2H_3 \parallel BC</math>, <math>H_3H_4 \parallel CD</math> și <math>H_4H_5 \parallel DE</math>, atunci'' <math>ABCDE</math> ''și <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt pentagoane regulate.''
-'''Soluție:'''
+'''Soluție:''' Fie <math>O</math> centrul cercului circumscris pentagonului <math>ABCDE</math>. Folosind [https://www.wikiwand.com/ro/Teorema_Sylvester_(geometrie) relația lui Sylvester], obținem <math>\overrightarrow{O H_1}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}</math> și <math>\overrightarrow{O H_2}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}.</math> Avem <math>\overrightarrow{H_1 H_2}=\overrightarrow{O H_2}-\overrightarrow{O H_1}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C E}</math> și, cum <math>H_1H_2 \parallel AB,</math> rezultă că <math>AB \parallel CE</math>, deci <math>AE=BC</math> și <math>H_1H_2 = |CE-AB|.</math>
-Fie ''O'' centrul cercului circumscris pentagonului ''ABCDE''. Folosind relația lui Sylvester, obținem <math>\overrightarrow{O H_1}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}</math> și <math>\overrightarrow{O H_2}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}.</math> Avem <math>\overrightarrow{H_1 H_2}=\overrightarrow{O H_2}-\overrightarrow{O H_1}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C E}</math> și, cum <math>H_1H_2 \parallel AB,</math> rezultă că <math>AB \parallel CE</math>, deci <math>AE=BC</math> și <math>H_1H_2 = |CE-AB|.</math>
 Analog, din <math>H_2H_3 \parallel BC,</math> obținem <math>AB=CD</math> și <math>H_2H_3=|AD-BC|</math>, din <math>H_3H_4 \parallel CD</math> deducem că <math>BC=DE</math> și <math>H_3H_4=|BE-CD|</math>, iar din <math>H_4H_5 \parallel DE</math> rezultă că <math>CD=AE</math> și <math>H_4H_5=|AC-DE|.</math>
-Avem <math>AB=BC=CD=DE=EA</math>, prin urmare și arcele de cerc subîntinse de laturile pentagonului sunt congruente, deci și unghiurile lui ABCDE sunt congruente. În concluzie, pentagonul ABCDE este regulat.
+Avem <math>AB=BC=CD=DE=EA</math>, prin urmare și arcele de cerc subîntinse de laturile pentagonului sunt congruente, deci și unghiurile poligonului <math>ABCDE</math> sunt congruente. În concluzie, pentagonul <math>ABCDE</math> este regulat.
-Din <math>AE \parallel BD</math> și <math>\overrightarrow{H_1 H_5}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{D B}</math>, obținem <math>H_1H_5=DB-AE</math> și <math>H_5H_1 \parallel AE.</math> Deducem că <math>H_1H_2=H_2H_3=H_3H_4=H_4H_5=H_5H_1</math> și că unghiurile lui <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt congruente cu cele ale pentagonului regulat ABCDE, deci <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> este un pentagon regulat.
+Din <math>AE \parallel BD</math> și <math>\overrightarrow{H_1 H_5}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{D B}</math>, obținem <math>H_1H_5=DB-AE</math> și <math>H_5H_1 \parallel AE.</math> Deducem că <math>H_1H_2=H_2H_3=H_3H_4=H_4H_5=H_5H_1</math> și că unghiurile lui <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt congruente cu cele ale pentagonului regulat <math>ABCDE</math>, deci <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> este un pentagon regulat.