14310: Difference between revisions
Benzar Ioan (talk | contribs) Created page with "'''14310 (Traian Covaciu)''' ''Fie <math>n, n + 2, n + 6 </math> trei numere naturale și <math> S </math> suma lor.'' a) ''Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru <math> n \in \mathbb{N}</math> astfel incat numerele <math> n, n + 2, n + 6 </math> sa fie simultan numere prime.'' <p> b) ''Daca <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt simultan numere prime, aratati ca exista <math> k \in \mathbb{N} </math> astfel incat <math> S = 9k + 5</math>. '' <p> c) ''Daca <math..." |
Benzar Ioan (talk | contribs) No edit summary |
||
| Line 3: | Line 3: | ||
''Fie <math>n, n + 2, n + 6 </math> trei numere naturale și <math> S </math> suma lor.'' | ''Fie <math>n, n + 2, n + 6 </math> trei numere naturale și <math> S </math> suma lor.'' | ||
a) ''Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru <math> n \in \mathbb{N}</math> astfel | a) ''Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru <math> n \in \mathbb{N}</math> astfel încât numerele <math> n, n + 2, n + 6 </math> să fie simultan numere prime.'' <p> | ||
b) '' | b) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt simultan numere prime, arătați că există <math> k \in \mathbb{N} </math> astfel încât <math> S = 9k + 5</math>. '' <p> | ||
c) '' | c) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului <math> S</math> la <math> 18 </math>.'' | ||
<p> | <p> | ||
''' | '''Soluție:''' <p> | ||
a) Pentru <math> n = 5 </math> numerele sunt <math> 5, 7, 11 </math>. Pentru <math> n = 11 </math> avem <math> 11, 13, 17 </math>, iar pentru <math> n = 17 </math> | a) Pentru <math> n = 5 </math> numerele sunt <math> 5, 7, 11 </math>. Pentru <math> n = 11 </math> avem <math> 11, 13, 17 </math>, iar pentru <math> n = 17 </math> obținem <math> 17, 19, 23 </math>. <p> | ||
b) Se | b) Se știe că numerele prime au forma <math> 6p + 1 </math> sau <math> 6p + 5 </math>. Dacă <math> n = 6p + 1</math>, atunci <math> n + 2 = 6p + 3 </math> care nu este numar prim. Așadar, <math> n = 6p + 5 </math>. În această situație avem <math> S = 6p + 5 + 6p + 7 + 6p + 11 = 18p + 23 = 9(2p + 2) + 5 </math>. În concluzie, există <math> k = 2p + 2 </math> astfel încât <math> S = 9k + 5 </math>. <p> | ||
c) Din punctul b) avem <math> S = 18(p + 1) + 5 </math>, deci restul | c) Din punctul b) avem <math> S = 18(p + 1) + 5 </math>, deci restul împărțirii lui <math> S </math> la <math> 18 </math> este <math> 5 </math>. | ||
Revision as of 17:58, 12 January 2025
14310 (Traian Covaciu)
Fie trei numere naturale și suma lor.
a) Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \mathbb{N}} astfel încât numerele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n, n + 2, n + 6 } să fie simultan numere prime.
b) Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n, n + 2, n + 6 } sunt simultan numere prime, arătați că există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \in \mathbb{N} } astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = 9k + 5} .
c) Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n, n + 2, n + 6 } sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} la Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 18 } .
Soluție:
a) Pentru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 5 } numerele sunt Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5, 7, 11 } . Pentru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 11 } avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 11, 13, 17 } , iar pentru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 17 } obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 17, 19, 23 } .
b) Se știe că numerele prime au forma Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6p + 1 } sau Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6p + 5 } . Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 6p + 1} , atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n + 2 = 6p + 3 } care nu este numar prim. Așadar, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 6p + 5 } . În această situație avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = 6p + 5 + 6p + 7 + 6p + 11 = 18p + 23 = 9(2p + 2) + 5 } . În concluzie, există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = 2p + 2 } astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = 9k + 5 } .
c) Din punctul b) avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = 18(p + 1) + 5 } , deci restul împărțirii lui Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S } la Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 18 } este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5 } .