E:15651: Difference between revisions
Created page with "''' E:15651 (Mihai Pălincaș, elev)''' ''Determinați soluțiile raționale ale ecuației <math>x^{2020} - x^2 - 3x = 0</math>.'' '''Soluție''' Ecuația se scrie <math>x\left(x^{2019} - x - 3 \right) = 0</math>, de unde <math>x=0</math> sau <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math>. Vom demonstra arăta că ecuația <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math> nu are soluții raționale. Presupunem că există o soluție rațională <math>\frac{p}{q}</math>, cu <math>p</math> și <ma..." |
No edit summary |
||
| Line 7: | Line 7: | ||
Ecuația se scrie <math>x\left(x^{2019} - x - 3 \right) = 0</math>, de unde <math>x=0</math> sau <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math>. | Ecuația se scrie <math>x\left(x^{2019} - x - 3 \right) = 0</math>, de unde <math>x=0</math> sau <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math>. | ||
Vom demonstra arăta că ecuația <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math> nu are soluții raționale. Presupunem că există o soluție rațională <math>\frac{p}{q}</math>, cu <math>p</math> și <math>q</math> numere întregi, prime între ele. Atunci <math>\frac{p^{2019}}{q^{2019}} - \frac{p}{q} -3 = 0</math>, ceea ce revine la <math>p^{2019} - p \cdot q^{2018} - 3\cdot q^{2019} = 0</math>. Cum <math>q | p\cdot q^{2018}</math> și <math>q | q^{2019}</math>, rezultă că <math>q | p^{2019}</math>, ceea ce este în contradicție cu <math> \left(p,q\right) = 1</math>. Deci, ecuația <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math> nu are soluții raționale. | Vom demonstra arăta că ecuația <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math> nu are soluții raționale. Presupunem că există o soluție rațională <math>\frac{p}{q}</math>, cu <math>p</math> și <math>q</math> numere întregi, prime între ele. Atunci <math>\frac{p^{2019}}{q^{2019}} - \frac{p}{q} -3 = 0</math>, ceea ce revine la <math>p^{2019} - p \cdot q^{2018} - 3\cdot q^{2019} = 0</math>. Cum <math>q | p\cdot q^{2018}</math> și <math>q | 3\cdot q^{2019}</math>, rezultă că <math>q | p^{2019}</math>, ceea ce este în contradicție cu <math> \left(p,q\right) = 1</math>. Deci, ecuația <math>x^{2019} - x - 3 = 0</math> nu are soluții raționale. | ||
În concluzie, singura soluție rațională a ecuației <math>x^{2020} - x^2 - 3x = 0</math> este <math>x = 0</math>. | În concluzie, singura soluție rațională a ecuației <math>x^{2020} - x^2 - 3x = 0</math> este <math>x = 0</math>. | ||
Latest revision as of 07:42, 9 January 2025
E:15651 (Mihai Pălincaș, elev)
Determinați soluțiile raționale ale ecuației .
Soluție
Ecuația se scrie , de unde sau .
Vom demonstra arăta că ecuația nu are soluții raționale. Presupunem că există o soluție rațională , cu și numere întregi, prime între ele. Atunci , ceea ce revine la . Cum și , rezultă că , ceea ce este în contradicție cu . Deci, ecuația nu are soluții raționale.
În concluzie, singura soluție rațională a ecuației este .