S:E20.56: Difference between revisions

Latest revision as of 08:11, 7 January 2025

S:E20.56 (Cristina Vijdeluc, Mihai Vijdeluc)

Se consideră triunghiul $ABC$ , cu $AB=AC$ și $\sphericalangle A=36^{\circ }$ . Punctul $D$ aparține laturii $AC$ astfel încât $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$ . Mediatorarea segmentului $AD$ intersectează latura $AB$ în $E$ . Arătați că $DB$ este bisectoare pentru unghiul $CDE$ .

Soluție

Cum $\sphericalangle A=36^{\circ }$ și triunghiul $ABC$ este isoscel, se obține că $\sphericalangle B=\sphericalangle C=72^{\circ }$ . Atunci $\sphericalangle ABD=\sphericalangle DBC=36^{\circ }$ , deci $\sphericalangle BDC=72^{\circ }$ .

Cum $ME$ este mediatoarea segmentului $AD$ , rezultă că $AED$ este un triunghi isoscel, cu $\sphericalangle A=\sphericalangle D=36^{\circ }$ , deci $\sphericalangle ADE=36^{\circ }$ . Atunci $\sphericalangle EDB=72^{\circ }$ .

În concluzie, $\sphericalangle BDC=\sphericalangle EDB=72^{\circ }$ , ceea ce impică faptul că $DB$ este bisectoare pentru unghiul $CDE$ .

@@ Line 8: / Line 8: @@
 Cum ''<math>\sphericalangle A = 36^\circ</math>'' și triunghiul ''<math>ABC</math>'' este isoscel, se obține că <math>\sphericalangle B = \sphericalangle C = 72^\circ</math>. Atunci <math>\sphericalangle ABD = \sphericalangle DBC = 36^\circ</math>, deci <math>\sphericalangle BDC = 72^\circ</math>.
-Cum <math>ME</math> este mediatoarea segmentului <math>AD</math>, rezultă că <math>AED</math> este un triunghi isoscel, cu <math>\sphericalangle A = \sphericalangle D = 36^\circ</math>, deci <math>\sphericalangle AED = 108^\circ</math>. Atunci <math>\sphericalangle BED = 72^\circ</math>, ceea ce implică <math>\sphericalangle EDB = 72^\circ</math>.
+Cum <math>ME</math> este mediatoarea segmentului <math>AD</math>, rezultă că <math>AED</math> este un triunghi isoscel, cu <math>\sphericalangle A = \sphericalangle D = 36^\circ</math>, deci <math>\sphericalangle ADE = 36^\circ</math>. Atunci <math>\sphericalangle EDB = 72^\circ</math>.
 În concluzie, <math>\sphericalangle BDC = \sphericalangle EDB= 72^\circ</math>, ceea ce impică faptul că <math>DB</math> este bisectoare pentru unghiul <math>CDE</math>.