28206: Difference between revisions

Revision as of 10:06, 3 January 2025

28206 (Dana Heuberger)

Fie $\left(G,\cdot \right)$ un grup cu elementul neutru $e$ care conține subgrupurile proprii, distincte, finite $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ , astfel încât pentru orice permutare $\sigma \in S_{3}$ și orice $a\in H_{\sigma \left(1\right)}\setminus \left\{e\right\}$ , $b\in H_{\sigma \left(2\right)}\setminus \left\{e\right\}$ , rezultă că $ab\in H_{\sigma \left(3\right)}$ .

Arătați că subgrupurile $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ au același număr de elemente.
Dacă $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$ , arătați că grupul $G$ este de tip Klein.

Soluție.

a) Pentru orice subgrup $H$ a lui $G$ , notăm $H^{\ast }=H\setminus \left\{e\right\}$ .

Arătăm mai întâi că $H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ .

Presupunem că există $a\in H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}$ , cu $a\neq e$ . Din ipoteză, rezultă că $H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\subset H_{3}$ , deci $H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }\subset H_{3}\cdot H_{3}^{\ast }=H_{3}$ . Cum $a\in H_{2}^{\ast }$ și $a^{-1}\in H_{3}^{\ast }$ , rezută că $e=a\cdot a^{-1}\in H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }$ , deci $H_{1}^{\ast }\subset H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }\subset H_{3}$ , așadar $H_{1}^{\ast }\subset H_{3}$ , adică $H_{1}\subset H_{3}$ . În mod analog, se arată că $H_{3}\subset H_{1}$ . Rezultă că $H_{1}=H_{3}$ , ceea ce contrazice ipoteza. În consecință, $H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ .

Arătăm, mai departe, că $H_{1}\cap H_{2}=H_{2}\cap H_{3}=H_{1}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ .

Presupunem că există $a\in H_{1}\cap H_{2}$ , cu $a\neq e$ . Dacă $H_{1}$ are cel puțin trei elemente, alegem

@@ Line 13: / Line 13: @@
 Arătăm mai întâi că <math>H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.
-Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 \cap H_3</math>, cu <math>a \ne e</math>. Din ipoteză, rezultă că <math>H_1^\ast \cdot H_2^\ast \subset H_3</math>, deci <math>H_1^\ast \cdot H_2^\ast \cdot H_3^\ast \subset H_3 \cdot H_3^\ast = H_3</math>. Cum <math>a\in H_2^\ast</math> și <math>a^{-1} \in H_3^\ast</math>, rezută că <math>e = a \cdot a^{-1} \in H_2^\ast \cdot H_3^\ast </math>, deci <math>H_1^\ast \subset H_1^\ast \cdot H_2^\ast \cdot H_3^\ast \subset H_3</math>, așadar <math>H_1^\ast \subset H_3 </math>, adică <math>H_1 \subset H_3 </math> Dacă
+Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 \cap H_3</math>, cu <math>a \ne e</math>. Din ipoteză, rezultă că <math>H_1^\ast \cdot H_2^\ast \subset H_3</math>, deci <math>H_1^\ast \cdot H_2^\ast \cdot H_3^\ast \subset H_3 \cdot H_3^\ast = H_3</math>. Cum <math>a\in H_2^\ast</math> și <math>a^{-1} \in H_3^\ast</math>, rezută că <math>e = a \cdot a^{-1} \in H_2^\ast \cdot H_3^\ast </math>, deci <math>H_1^\ast \subset H_1^\ast \cdot H_2^\ast \cdot H_3^\ast \subset H_3</math>, așadar <math>H_1^\ast \subset H_3 </math>, adică <math>H_1 \subset H_3 </math>. În mod analog, se arată că <math>H_3 \subset H_1 </math>. Rezultă că <math>H_1 = H_3 </math>, ceea ce contrazice ipoteza. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.
+Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.
+Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem