28206

28206 (Dana Heuberger)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(G,\cdot\right)} un grup cu elementul neutru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} care conține subgrupurile proprii, distincte, finite $H_{1}$, $H_{2}$ și $H_{3}$, astfel încât pentru orice permutare $\sigma \in S_{3}$ și orice $a\in H_{\sigma \left(1\right)}\setminus \left\{e\right\}$, $b\in H_{\sigma \left(2\right)}\setminus \left\{e\right\}$, rezultă că $ab\in H_{\sigma \left(3\right)}$.

1. Arătați că subgrupurile $H_{1}$, $H_{2}$ și $H_{3}$ au același număr de elemente.
2. Dacă $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$, arătați că grupul $G$ este de tip Klein.

Soluție.

a) Pentru orice subgrup $H$ a lui $G$, notăm Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^\ast = H \setminus \left\{e\right\}} .

Presupunem că