28260: Difference between revisions

Latest revision as of 15:26, 21 January 2024

28260 (Dana Heuberger)

Enunț

Fie triunghiul echilateral $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $1$ . Considerăm mulțimea ${\mathcal {M}}$ a punctelor $X$ din plan cu proprietatea că ${\overrightarrow {OX}}=k\cdot {\overrightarrow {OA}}+m\cdot {\overrightarrow {OB}}+n\cdot {\overrightarrow {OC}}$ , unde $k,m,n\in N^{*}$ . Arătați că oricare ar fi punctele distincte $M,N,P\in {\mathcal {M}}$ există $Q\in {\mathcal {M}}$ astfel încât vectorii ${\overrightarrow {MN}}$ , ${\overrightarrow {PQ}}$ și ${\overrightarrow {NM}}+$ ${\overrightarrow {QP}}$ să formeze un triunghi echilateral.

Soluție

Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor $OA$ , $OB$ și $OC$ , distanța ditre două drepte consecutive fiind de ${\sqrt {3}}$ . Cum ${\overrightarrow {OC}}$ = $-{\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OB}}$ obținem că $X\in {\mathcal {M}}$ dacă și numai dacă există $p,q\in \mathbb {Z}$ , astfel încât ${\overrightarrow {OX}}=p\cdot {\overrightarrow {OA}}+q\cdot {\overrightarrow {OB}}$ .

Analog, coordonatele lui ${\overrightarrow {OX}}$ în baza $({\overrightarrow {OB}},\,{\overrightarrow {OC}})$ , precum și cele din baza $({\overrightarrow {OA}},\,{\overrightarrow {OC}})$ sunt întregi. De aici rezultă ușor că ${\mathcal {M}}$ este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.

Alegem punctele $M,N,P\in {\mathcal {M}}$ . Dacă vectorul ${\overrightarrow {MN}}$ este paralel cu unul dintre vectorii ${\overrightarrow {OA}}$ , ${\overrightarrow {OB}}$ , ${\overrightarrow {OC}}$ , atunci problema este evidentă. Dacă ${\overrightarrow {MN}}$ nu este paralel cu niciunul dintre vectorii ${\overrightarrow {OA}}$ , ${\overrightarrow {OB}}$ , ${\overrightarrow {OC}}$ , atunci fie $a,b\in \mathbb {Z} ^{*}$ coordonatele vectorului ${\overrightarrow {MN}}$ în baza $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})$ și punctele $S,T,R$ astfel încât ${\overrightarrow {SN}}=a\cdot {\overrightarrow {OA}}$ , ${\overrightarrow {MS}}=b\cdot {\overrightarrow {OB}}$ , ${\overrightarrow {NR}}=a\cdot {\overrightarrow {OC}}$ și ${\overrightarrow {RT}}=b\cdot {\overrightarrow {OA}}$ . Rezultă ${\overrightarrow {MN}}=a\cdot {\overrightarrow {OA}}+b\cdot {\overrightarrow {OB}}$ și ${\overrightarrow {NT}}=a\cdot {\overrightarrow {OC}}+b\cdot {\overrightarrow {OA}}$ .

Dacă $a\cdot b>0$ , atunci $m(\sphericalangle MSN)=m(\sphericalangle TRN)=60^{\circ }$ , iar dacă $a\cdot b<0$ , atunci $m(\sphericalangle MSN)=m(\sphericalangle TRN)=120^{\circ }$ . Cum $MS=RT=|b|$ , iar $SN=NR=|a|$ , rezultă că triunghiurile $MNS$ și $TNR$ sunt congruente, deci $TN=MN$ și $m(\sphericalangle MSN)=m(\sphericalangle TRN)$ . Întrucât $m(\sphericalangle SNR)=60^{\circ }$ , obținem și $m(\sphericalangle MNT)=60^{\circ }$ , deci triunghiul $MNT$ este echilateral. Este suficient să alegem punctul $Q$ astfel încât ${\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {NT}}$ și problema este rezolvată.

Remarcă: De fapt, triunghiul $TNR$ este imaginea triunghiului $MNS$ prin rotația de centru $N$ și unghi de $60^{\circ }$ .

@@ Line 3: / Line 3: @@
 '''Enunț'''
-Fie triunghiul echilateral ABC înscris în cercul de centru O și rază.1.
+''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k, m, n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math>  și <math>\overrightarrow{NM}+</math>  <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.''
-Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k</math>  <math>\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>,unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in M </math> există <math>Q\in\{M}\</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math>  și <math>\overrightarrow{NM}+</math>  <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.
 '''Soluție'''
-Formăm in plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri
+Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor <math>OA</math>, <math>OB</math> și <math>OC</math>, distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}</math> obținem că <math>X\in \mathcal{M}</math> dacă și numai dacă există <math>p, q\in \mathbb{Z}</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} </math>.
-se află pe drepte paralele echidistante, avand direcțiile dreptelor OA,OB și OC,
-distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>, ca în figura alăturată. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OC}</math> - <math>\overrightarrow{OC}</math> obținem că <math>X\in M</math> dacă și numai dacă există <math>p,q\in Z</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p</math>  <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OA} + q</math>  <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OB} </math>.
-Analog,coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>M</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.
+Analog, coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>\mathcal{M}</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.
-Alegem punctele <math>M,N,P \in M </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>,<math>\overrightarrow{OB}</math>,<math>\overrightarrow{OA},</math> problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA},</math><math>\overrightarrow{OB},</math>,<math>\overrightarrow{OC},</math> fie <math>a,b\in Z^*</math> coordonatele lui <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA},</math><math>\overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S,T,R,</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot</math> <math>\overrightarrow{OA},</math> <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OB},</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot</math> <math>\overrightarrow{OC},</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot </math><math>\overrightarrow{OA}+ b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot </math><math>\overrightarrow{OC} + b \cdot </math><math>\overrightarrow{OA} </math>.
+Alegem punctele <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci  problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci fie <math>a, b\in \mathbb{Z}^*</math> coordonatele vectorului <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA},  \overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S, T, R</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot \overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot \overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot \overrightarrow{OC}</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot \overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot  \overrightarrow{OA}+ b \cdot \overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot  \overrightarrow{OC} + b \cdot  \overrightarrow{OA} </math>.
-Dacă <math>a \cdot b > 0,</math> atunci <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 60^\circ</math> , iar daca <math>a \cdot b < 0,</math> atunci  <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = |b|,</math> iar <math> SN = NR = |a|,</math> rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN). </math>.
+Dacă <math>a \cdot b > 0</math>, atunci <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 60^\circ</math>, iar dacă <math>a \cdot b < 0</math>, atunci  <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = |b|</math>, iar <math> SN = NR = |a|</math>, rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN)</math>. Întrucât <math>m(\sphericalangle SNR) = 60^\circ</math>, obținem și <math>m(\sphericalangle MNT) = 60^\circ</math>, deci triunghiul <math>MNT</math> este echilateral. Este suficient să alegem punctul <math>Q</math> astfel încât <math>\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{NT}</math> și problema este rezolvată.
-Întrucât <math>m(\angle SNR) = 60^\circ</math> , obținem și <math>m(\angle MNT) = 60^\circ</math>, deci triunghiul <math>MNT</math> este echilateral. Este suficient să alegem punctul <math>Q</math> astfel încât <math>\overrightarrow{PQ} =</math> <math>\overrightarrow{NT}</math> și problema este rezolvată.
 '''Remarcă:'''
-De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^/circ</math>.
+De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^\circ</math>.