15678: Difference between revisions

Latest revision as of 10:42, 16 January 2024

15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați toate numerele de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care

{\overline {abcd}}=2021+5(a-c+b-d+1).

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''14441 (Constantin Apostol, Rm. Sărat)'''
+'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
-''Arătați că oricare ar fi cifrele '' <math>a</math> '' și <math>b</math>, numărul  <math>\overline{ab15}</math>  are un număr par de divizori naturali.''
+''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math> ''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>'''Soluție:'''
-'''Soluție:'''
-''Se știe că un număr natural cu un număr impar de divizori este pătrat perfect.De asemenea, un pătrat perfect care are cifra unităților 5 are cifra zecilor 2.Cu acestea, dacă presupunem că numărul <math>\overline{ab15}</math> are un număr impar de divizori, atunci el este pătrat perfect-fals.''
+Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>, de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.
+'''1.''' Pentru <math>d=1</math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.
+Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc1} = 2021+5(2-c+b)</math> sau <math>2001+100b+10c=2031-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=30</math>.
+De aici <math>b=0</math> și <math>c=2</math>. Numărul căutat este <math>2021</math>.
+Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.
+'''2.''' Pentru <math>d=6</math> relația dată devine <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>. Deoarece <math>a-c+b-5 \le 13</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2086</math> și cum <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.
+Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc6} = 2021+5(2-c+b-5)</math> sau <math>2006+100b+10c=2006-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=0</math>. De aici <math>b=0</math> și <math>c=0</math>.
+Numărul căutat este <math>2006</math>.
+Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.