E:15694: Difference between revisions

Latest revision as of 17:50, 17 July 2024

E:15694 (Traian Covaciu)

Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.

Soluție.

Dacă $a$ şi $b$ sunt cele două numere, $a>b$ şi $c$ este câtul şi restul, atunci $a+b=2020$ $(1)$ şi $a=b\cdot c+c$ $(2)$ , cu $c<b$ .

Înlocuind pe $(2)$ în $(1)$ avem $b\cdot c+c+b=2020$ , ceea ce conduce la $c(b+1)+b+1=2021$ , de unde se obține

(b+1)(c+1)=2021.

Cum

2021=43\cdot 47

putem avea

b+1=43

şi

c+1=47

sau

b+1=47

şi

c+1=43

.

În primul caz avem $b=42$ şi $c=46$ , care nu convine (avem condiţia $c<b$ ). În al doilea caz avem $b=46$ şi $c=42$ . Obţinem $a=1974$ .

Deci, numerele căutate sunt

a=1974,b=46.

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''E:15694 (Traian Covaciu, Baia Mare)'''
+'''E:15694 (Traian Covaciu)'''
 ''Suma a două numere naturale  nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''
@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție.'''
-Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020 (1)</math> şi <math>a = b * c + c  (2)</math>, cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b * c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 * 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.
+Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020</math> <math>(1)</math> şi <math>a = b \cdot c + c</math> <math>(2)</math>, cu <math>c < b</math>.
+Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b \cdot c + c + b = 2020</math>, ceea ce conduce la <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde se obține<math display="block">(b + 1)(c + 1) = 2021.</math>
+Cum <math> 2021 = 43 \cdot 47</math> putem avea <math> b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>.
+În primul caz avem <math>b = 42</math> şi <math> c = 46 </math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>).
+În al doilea caz avem <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.
+Deci, numerele căutate sunt <math display="block">a=1974, b=46.</math>