E:15694: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
 
(5 intermediate revisions by 2 users not shown)
Line 1: Line 1:
'''E:15694 (Traian Covaciu, Baia Mare)'''
'''E:15694 (Traian Covaciu)'''


''Suma a două numere naturale  nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''
''Suma a două numere naturale  nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''
Line 5: Line 5:
'''Soluție.'''
'''Soluție.'''


Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020 (1)</math> şi <math>a = b * c + c (2)</math>, cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b * c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 * 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.
Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020</math> <math>(1)</math> şi <math>a = b \cdot c + c</math> <math>(2)</math>, cu <math>c < b</math>.  
 
Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b \cdot c + c + b = 2020</math>, ceea ce conduce la <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde se obține<math display="block">(b + 1)(c + 1) = 2021.</math>
Cum <math> 2021 = 43 \cdot 47</math> putem avea <math> b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>.  
 
În primul caz avem <math>b = 42</math> şi <math> c = 46 </math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>).  
În al doilea caz avem <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.  
 
Deci, numerele căutate sunt <math display="block">a=1974, b=46.</math>

Latest revision as of 17:50, 17 July 2024

E:15694 (Traian Covaciu)

Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.

Soluție.

Dacă şi sunt cele două numere, şi este câtul şi restul, atunci şi , cu .

Înlocuind pe în avem , ceea ce conduce la , de unde se obține

Cum putem avea şi sau şi .

În primul caz avem şi , care nu convine (avem condiţia ). În al doilea caz avem şi . Obţinem .

Deci, numerele căutate sunt