E:14313: Difference between revisions

Latest revision as of 08:23, 16 January 2025

E:14313 (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău)

Determinați numerele întregi $x$ , $y$ și $z$ astfel încât ${\frac {2x+3}{3}}={\frac {2}{3y-1}}={\frac {5}{4z-3}}$ .

Soluție:

Din relația dată avem $(2x+3)(3y-1)=2\cdot 3$ și $(2x+3)(4z-3)=3\cdot 5$ . Deoarece fiecare factor reprezintă un număr întreg, sunt posibile următoarele situații:

a) $2x+3=1$ , $3y-1=6$ și $4z-3=15$ b) $2x+3=3$ , $3y-1=2$ și $4z-3=5$

Situația a) nu conduce la soluții numere întregi. Pentru b) se obține $x=0$ , $y=1$ și $z=2$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''[[E:14313]] (Emil Florin Bizău și Ioan Bizău)'''<p>
-''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât'' <math>\frac{2x + 3}{3} =  \frac{2}{3y - 1} = \frac{5}{4z - 3}</math>.
+''Determinați numerele întregi <math>x</math>, <math>y</math> și <math>z</math> astfel încât'' <math>\frac{2x + 3}{3} =  \frac{2}{3y - 1} = \frac{5}{4z - 3}</math>.<p>
-'''Soluție'''
+'''Soluție:'''<p>''Din relația dată avem'' <math>(2x + 3)(3y - 1) = 2 \cdot 3 </math> și <math>(2x+3)(4z-3) = 3\cdot 5</math>. Deoarece fiecare factor reprezintă un număr întreg, sunt posibile următoarele situații:</p>a) <math>2x+3 = 1</math>, <math>3y-1=6</math> și <math>4z-3=15</math>
- ''<p>Din prima relație, avem:</p>
-            <p><math>(2x + 3) / (3y - 1) = 2 / 3 ⇒ 3(2x + 3) = 2(3y - 1).</math></p>
-        <p>Rezolvăm ecuația:</p>
-            <p><math>6x + 9 = 6y - 2 ⇒ 6x - 6y = -11 ⇒ x - y = -11 / 6.</math></p>
-        <p>Deoarece <math>x</math> și <math>y</math> sunt întregi, această relație nu oferă soluții întregi.</p>
-        <p>Din a doua relație, avem:</p>
-            <p><math>5 / (4z - 3) = 3 ⇒ 5 = 3(4z - 3).</math></p>
-        <p>Rezolvăm ecuația:</p>
-            <p><math>5 = 12z - 9 ⇒ 12z = 14 ⇒ z = 14 / 12 = 7 / 6.</math></p>
-        <p>Deoarece <math>z</math> nu este întreg, această relație nu oferă soluții întregi.</p>''
-'''Răspuns final:''' ''Problema nu are soluții întregi.''
+b) <math>2x+3 = 3</math>, <math>3y-1=2</math> și <math>4z-3=5</math> <p>Situația a) nu conduce la soluții numere întregi. Pentru b) se obține <math>x=0</math>, <math>y=1</math> și <math>z=2</math>.</p>