S:E15313: Difference between revisions

Latest revision as of 03:16, 11 December 2024

E:15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați cifra $a$ pentru care fracția ${\frac {a^{2}\cdot {\overline {aa}}+a^{2}(a^{2}+1)}{\overline {202a}}}$ este echiunitară.

Soluție:

Fracția este echiunitară dacă $a^{2}\cdot {\overline {aa}}+a^{2}(a^{2}+1)={\overline {202a}}$ sau $a^{4}+11a^{3}+a^{2}={\overline {202a}}$ . Avem $2020\leq {\overline {202a}}\leq 2029$ .

Dacă $a\leq 4$ , atunci $a^{4}+11a^{3}+a^{2}\leq 976<2020$ , iar dacă $a\geq 6$ , atunci $a^{4}+11a^{3}+a^{2}\geq 3708>2029$ .

Pentru $a=5$ , avem $5^{4}+11\cdot 5^{3}+5^{2}=2025$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''S:E15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''
+'''E:15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 ''Determinați cifra <math>a</math> pentru care fracția <math>\frac{a^2 \cdot \overline{aa} + a^2(a^2+1)}{\overline{202a}}</math> este echiunitară.''
@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție:'''
-''Fracția este echiunitară dacă <math>a^2 \cdot \overline{aa} + a^2(a^2+1) = \overline{202a}</math> sau <math>a^4 + 11a^3 + a^2 = \overline{202a}</math>. Avem <math> 2020 \leq \overline{202a} \leq 2029 </math>. Dacă <math> a \leq 4 </math>, atunci <math> a^4 + 11a^3 + a^2 \leq 976 < 2020 </math>, iar dacă <math>a \geq 6</math>, atunci <math>a^4 + 11a^3 + a^2 \geq 3708 > 2029 </math>. Pentru <math>a = 5 </math>, avem <math>5^4 + 11 \cdot 5^3 + 5^2 = 2025 </math>. ''
+Fracția este echiunitară dacă <math>a^2 \cdot \overline{aa} + a^2(a^2+1) = \overline{202a}</math> sau <math>a^4 + 11a^3 + a^2 = \overline{202a}</math>. Avem <math> 2020 \leq \overline{202a} \leq 2029 </math>.
+Dacă <math> a \leq 4 </math>, atunci <math> a^4 + 11a^3 + a^2 \leq 976 < 2020 </math>, iar dacă <math>a \geq 6</math>, atunci <math>a^4 + 11a^3 + a^2 \geq 3708 > 2029 </math>.
+Pentru <math>a = 5 </math>, avem <math>5^4 + 11 \cdot 5^3 + 5^2 = 2025 </math>.