28260: Diferență între versiuni
(Pagină nouă: '''28260 (Dana Heuberger)''' '''Enunț''' Fie triunghiul echilateral ABC înscris în cercul de centru O și rază.1. Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k</math> <math>\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>,unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in M </math> există <math>Q\in\{M}\</math> astfel încât vecto...) |
Fără descriere a modificării |
||
| (Nu s-au afișat 3 versiuni intermediare efectuate de același utilizator) | |||
| Linia 3: | Linia 3: | ||
'''Enunț''' | '''Enunț''' | ||
Fie triunghiul echilateral ABC înscris în cercul de centru O și rază | ''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k, m, n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.'' | ||
Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k | |||
'''Soluție''' | '''Soluție''' | ||
Formăm | Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor <math>OA</math>, <math>OB</math> și <math>OC</math>, distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}</math> obținem că <math>X\in \mathcal{M}</math> dacă și numai dacă există <math>p, q\in \mathbb{Z}</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} </math>. | ||
se află pe drepte paralele echidistante, | |||
distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math> | |||
Analog,coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>M</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei. | Analog, coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>\mathcal{M}</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei. | ||
Alegem punctele <math>M,N,P \in M </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>,<math>\overrightarrow{OB}</math>,<math>\overrightarrow{ | Alegem punctele <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci fie <math>a, b\in \mathbb{Z}^*</math> coordonatele vectorului <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S, T, R</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot \overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot \overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot \overrightarrow{OC}</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot \overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot \overrightarrow{OA}+ b \cdot \overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot \overrightarrow{OC} + b \cdot \overrightarrow{OA} </math>. | ||
Dacă <math>a \cdot b > 0 | Dacă <math>a \cdot b > 0</math>, atunci <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 60^\circ</math>, iar dacă <math>a \cdot b < 0</math>, atunci <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = |b|</math>, iar <math> SN = NR = |a|</math>, rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN)</math>. Întrucât <math>m(\sphericalangle SNR) = 60^\circ</math>, obținem și <math>m(\sphericalangle MNT) = 60^\circ</math>, deci triunghiul <math>MNT</math> este echilateral. Este suficient să alegem punctul <math>Q</math> astfel încât <math>\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{NT}</math> și problema este rezolvată. | ||
Întrucât <math>m(\ | |||
'''Remarcă:''' | '''Remarcă:''' | ||
De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^ | De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^\circ</math>. | ||
Versiunea curentă din 21 ianuarie 2024 15:26
28260 (Dana Heuberger)
Enunț
Fie triunghiul echilateral înscris în cercul de centru și rază . Considerăm mulțimea a punctelor din plan cu proprietatea că , unde . Arătați că oricare ar fi punctele distincte există astfel încât vectorii , și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{QP}} să formeze un triunghi echilateral.
Soluție
Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle OA} , Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle OB} și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle OC} , distanța ditre două drepte consecutive fiind de Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \sqrt{3}} . Cum Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} = Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle -\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}} obținem că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X\in \mathcal{M}} dacă și numai dacă există Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p, q\in \mathbb{Z}} , astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OX} = p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} } .
Analog, coordonatele lui Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OX}} în baza Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})} , precum și cele din baza Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})} sunt întregi. De aici rezultă ușor că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \mathcal{M}} este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.
Alegem punctele Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle M, N, P \in \mathcal{M} } . Dacă vectorul Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{MN}} este paralel cu unul dintre vectorii Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} , Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} , Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} , atunci problema este evidentă. Dacă Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{MN}} nu este paralel cu niciunul dintre vectorii Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} , Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} , Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} , atunci fie Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a, b\in \mathbb{Z}^*} coordonatele vectorului Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{MN}} în baza Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})} și punctele Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle S, T, R} astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{SN} = a \cdot \overrightarrow{OA}} , Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{MS} = b \cdot \overrightarrow{OB}} , Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{NR} = a \cdot \overrightarrow{OC}} și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{RT} = b \cdot \overrightarrow{OA} } . Rezultă Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{MN} = a \cdot \overrightarrow{OA}+ b \cdot \overrightarrow{OB} } și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{NT} = a \cdot \overrightarrow{OC} + b \cdot \overrightarrow{OA} } .
Dacă Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a \cdot b > 0} , atunci Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 60^\circ} , iar dacă Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a \cdot b < 0} , atunci Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 120^\circ} . Cum Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle MS = RT = |b|} , iar Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle SN = NR = |a|} , rezultă că triunghiurile Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle MNS} și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle TNR} sunt congruente, deci Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle TN = MN } și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN)} . Întrucât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m(\sphericalangle SNR) = 60^\circ} , obținem și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m(\sphericalangle MNT) = 60^\circ} , deci triunghiul Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle MNT} este echilateral. Este suficient să alegem punctul Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle Q} astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{NT}} și problema este rezolvată.
Remarcă: De fapt, triunghiul Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle TNR} este imaginea triunghiului Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle MNS} prin rotația de centru Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle N} și unghi de Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 60^\circ} .
