E:14336: Difference between revisions

Revision as of 07:37, 16 January 2024

S:E14336 (Gh. Szöllösy)

Fie $a$ și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),

pentru orice

x

și

y

numere reale.

Soluție.

Presupunem că $f(0)=c\neq 0.$ Atunci, pentru $y=0$ relația din enunț devine

f(x)-c=acxf(x).

Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice

x\in \mathbb {R} .

Într-adevăr, pentru

x={\frac {1}{ac}}

obținem

c=0

, în contradicție cu presupunerea făcută,

c\neq 0.

Rezultă așadar, că

f(0)=0.

De aici, luând

y=0

obținem

f(x)=0,

singura funcție care verifică relația dată.

@@ Line 2: / Line 2: @@
 <br>
-''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile'' <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>'' cu proprietatea:'' <math display="block">f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y),</math><br>
+''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile'' <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>'' cu proprietatea:'' <math display="block">f(x) - f(y) = (ax + by)f(x)f(y),</math><br>
 ''pentru orice'' <math>x</math> și <math>y</math> numere reale.
 '''Soluție.'''
-Presupunem că<math> f(0)=c\neq0.</math> Atunci, pentru <math>y = 0</math> relația din enunț devine <math display="block">f(x)-c=acxf(x).</math>Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice<math>x\in \mathbb{R}.</math> <br>
+Presupunem că<math> f(0)=c\neq0.</math> Atunci, pentru <math>y = 0</math> relația din enunț devine <math display="block">f(x)-c=acxf(x).</math>Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice<math>x\in \mathbb{R}.</math> Într-adevăr, pentru <math>x=\frac{1}{ac}</math> obținem <math>c=0</math>, în contradicție cu presupunerea făcută, <math>c\neq0.</math>
-Într-adevăr, pentru <math>x=\frac{1}{ac}</math> obținem <math>c=0</math>, în contradicție cu presupunerea făcută, <math>c\neq0.</math>. Rezultă așadar, că <math>f(0)=0.</math> De aici, luând <math>y=0</math> obținem <math>f(x)=0,</math> singura funcție care verifică relația dată.
+Rezultă așadar, că <math>f(0)=0.</math> De aici, luând <math>y=0</math> obținem <math>f(x)=0,</math> singura funcție care verifică relația dată.