E:14336: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| (3 intermediate revisions by 2 users not shown) | |||
| Line 2: | Line 2: | ||
<br> | <br> | ||
''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile'' <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>'' cu proprietatea:'' <math display="block">f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y),</math><br> | ''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile'' <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>'' cu proprietatea:'' <math display="block">f(x) - f(y) = (ax + by)f(x)f(y),</math><br> | ||
''pentru orice'' <math>x</math> și <math>y</math> numere reale. | ''pentru orice'' <math>x</math> și <math>y</math> numere reale. | ||
'''Soluție.''' | '''Soluție.''' | ||
Presupunem că<math> f(0)=c\neq0.</math> Atunci, pentru <math>y = 0</math> relația din enunț devine <math display="block">f(x)-c=acxf(x).</math>Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice<math>x\in \mathbb{R}.</math> Într-adevăr, pentru <math>x=\frac{1}{ac}</math> obținem <math>c=0</math>, în contradicție cu presupunerea făcută, <math>c\neq0.</math> | |||
Rezultă așadar, că <math>f(0)=0.</math> De aici, luând <math>y=0</math> obținem <math>f(x)=0,</math> singura funcție care verifică relația dată. | |||
Revision as of 07:37, 16 January 2024
S:E14336 (Gh. Szöllösy)
Fie și două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile cu proprietatea:
pentru orice și numere reale.
Soluție.
Presupunem că Atunci, pentru relația din enunț devine
Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice Într-adevăr, pentru obținem , în contradicție cu presupunerea făcută,
Rezultă așadar, că De aici, luând obținem singura funcție care verifică relația dată.
