S:L21.287

S:L21.287 (Gheorghe Boroica)

Arătați că, pentru orice număr natural $n\geq 3$, ecuația $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5^{n}$ are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.

Soluție:

Pentru $n\geq 3$ un număr impar, avem $n=2k+1$, cu $k\geq 1$. Atunci

$$5^{n}=5^{2k+1}=5^{2k}\cdot 5=5^{2k}\cdot \left(1^{2}+1^{2}+2^{2}\right)=\left(5^{k}\right)^{2}+\left(5^{k}\right)^{2}+\left(2\cdot 5^{k}\right)^{2},$$

deci putem alege soluția $x=5^{\frac {n-1}{2}}$, $y=5^{\frac {n-1}{2}}$ și $z=2\cdot 5^{\frac {n-1}{2}}$.

Pentru $n\geq 3$ un număr par, avem $n=2k$, cu $k\geq 2$. Atunci

$$5^{n}=5^{2k}=5^{2(k-2)}\cdot 5^{4}=5^{2(k-2)}\cdot \left(12^{2}+15^{2}+16^{2}\right)=\left(12\cdot 5^{k-2}\right)^{2}+\left(15\cdot 5^{k-2}\right)^{2}+\left(16\cdot 5^{k-2}\right)^{2},$$

deci putem alege soluția $x=12\cdot 5^{{\frac {n}{2}}-2}$, $y=15\cdot 5^{{\frac {n}{2}}-2}$ și $z=16\cdot 5^{{\frac {n}{2}}-2}$.

Observație: Cum $625=5^{4}=12^{2}+15^{2}+16^{2}=9^{2}+12^{2}+20^{2}$, pentru ecuația considerată se pot determina mai multe soluții.