Gazeta matematică 2021: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
 
(One intermediate revision by the same user not shown)
Line 12: Line 12:


''Aflați numerele naturale <math>x</math> și <math>\overline{abcd}</math> pentru care este adevărată relația <math>5[(\overline{ab}+\overline{cd})(\overline{ad}+\overline{cb})-1]=2022-3^x</math>.''
''Aflați numerele naturale <math>x</math> și <math>\overline{abcd}</math> pentru care este adevărată relația <math>5[(\overline{ab}+\overline{cd})(\overline{ad}+\overline{cb})-1]=2022-3^x</math>.''
== Gazeta Matematică 10/2021 ==
'''[[28163]] (Dana Heuberger)'''
''Aflați șirul de numere naturale nenule <math>(a_n)_{n\geq1}</math> pentru care
<math>\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}</math>, pentru orice <math>n \geq 1</math>.''
== Gazeta Matematică 11/2021 ==
==== Clasa a VIII-a ====
'''[[S:E21.313]] (Cristina Vijdeluc & Mihai Vijdeluc)'''
''Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația'' <math display="block">\frac{x-5}{1013} + \frac{x-7}{1014} + \frac{x-9}{1015} = \frac{x+2009}{6} + \frac{x+2005}{8} + \frac{x+2001}{10}.</math>'''Soluție.'''
==== Clasa a IX-a ====
'''[[S:L21.287]] (Gheorghe Boroica)'''
''Arătați că, pentru orice număr natural'' <math>n \ge 3</math>, ''ecuația'' <math>x^2 + y^2 + z^2 =5^n</math> ''are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.''
==== Clasa a XII-a ====
'''[[28203]] (Dana Heuberger)'''
''Fie <math> f:  \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R} </math> o funcție cu proprietatea''
<math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>
<ol type="a"><li> ''Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este monotonă.''</li>
<li>  ''Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este continuă.''</li>
<li> ''Fie <math>f</math> o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math>. Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''
== Gazeta Matematică 12/2021 ==
==== Clasa a XII-a ====
'''[[28208]] (Dana Heuberger)'''
''Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și <math>H_1, H_2, H_3, H_4, H_5</math> ortocentrele triunghiurilor'' <math>ACD</math>'','' <math>BDE</math>'','' <math>CEA</math>'','' <math>DAB</math>'', respectiv'' <math>EBC</math>''. Arătați că, dacă <math>H_1H_2 \parallel AB</math>, <math>H_2H_3 \parallel BC</math>, <math>H_3H_4 \parallel CD</math> și <math>H_4H_5 \parallel DE</math>, atunci'' <math>ABCDE</math> ''și <math>H_1H_2H_3H_4H_5</math> sunt pentagoane regulate.''

Latest revision as of 14:45, 1 November 2024

Gazeta Matematică 6-7-8/2021[edit | edit source]

Clasa a V-a[edit | edit source]

E:15990 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numărul , știind că și , unde p și q sunt numere prime.

E:15991 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele naturale și pentru care .

E:15992 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele naturale și pentru care este adevărată relația .

Gazeta Matematică 10/2021[edit | edit source]

28163 (Dana Heuberger)

Aflați șirul de numere naturale nenule pentru care , pentru orice .

Gazeta Matematică 11/2021[edit | edit source]

Clasa a VIII-a[edit | edit source]

S:E21.313 (Cristina Vijdeluc & Mihai Vijdeluc)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

Soluție.

Clasa a IX-a[edit | edit source]

S:L21.287 (Gheorghe Boroica)

Arătați că, pentru orice număr natural , ecuația are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.

Clasa a XII-a[edit | edit source]

28203 (Dana Heuberger)

Fie o funcție cu proprietatea

, pentru orice

  1. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea care nu este monotonă.
  2. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea care nu este continuă.
  3. Fie o funcție care admite primitive și are proprietatea . Arătați că, dacă , pentru orice , atunci este surjectivă.

Gazeta Matematică 12/2021[edit | edit source]

Clasa a XII-a[edit | edit source]

28208 (Dana Heuberger)

Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și ortocentrele triunghiurilor , , , , respectiv . Arătați că, dacă , , și , atunci și sunt pentagoane regulate.