E:16382: Difference between revisions

Latest revision as of 14:27, 1 November 2024

E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Afișați numerele întregi pozitive ${\overline {abcd}}$ cu proprietatea

a^{7}+a^{b}+a^{c}+a^{d}={\overline {a000}}.

Soluție

Deoarece $4^{7}>9999$ și $1^{7}+1^{b}+1^{c}+1^{d}<1000$ , avem $a=2$ sau $a=3$ .

Egalitatea din enunț corespunde scrierii numărului ${\overline {a000}}$ în baza $a$ .

Cum $2000=11111010000_{2}$ , $a=2$ nu convine.

De asemenea, $3000=101010010_{3}$ corespunde egalității din enunț

3000=3^{7}+3^{5}+3^{4}+3^{2}\cdot 2^{2}.

Prin urmare, avem soluțiile

b=6

,

c=4

,

d=1

și permutările acestora.

Se obțin numerele întregi pozitive:

\{{3641},{3614},{3461},{3416},{3164},{3146}\}.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
-Afișați numerele întregi pozitive $\overline{abcd}$ cu proprietatea
+''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea''<math display="block">a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>'''Soluție'''
-\[ a^7 + e^d + ad = \overline{a000}. \]
+Deoarece <math>4^7 > 9999</math> și <math>1^7 + 1^b + 1^c + 1^d < 1000</math>, avem <math>a = 2</math> sau <math>a = 3</math>.
+Egalitatea din enunț corespunde scrierii numărului <math>\overline{a000}</math> în baza <math>a</math>.
+Cum <math>2000 = 11111010000_2</math>, <math>a=2</math> nu convine.
+De asemenea, <math>3000 = 101010010_3</math> corespunde egalității din enunț <math display="block">3000 = 3^7 + 3^5  + 3^4 + 3^2 \cdot 2^2.</math> Prin urmare, avem soluțiile <math>b = 6</math>, <math>c = 4</math>, <math>d = 1</math> și permutările acestora.
+Se obțin numerele întregi pozitive: <math display="block"> \{{3641}, {3614}, {3461}, {3416}, {3164}, {3146}\}.</math>