28868: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
← Older edit
VisualWikitext
No edit summary
mNo edit summary
 
(9 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 1: Line 1:
'''[[28868]] (Andre Horvat-Marc)'''
'''[[28868]] (Andrei Horvat-Marc)'''


''Fie <math>n\in \mathbb{N^\ast}</math> și funcțiile <math>f:\left[0,2n^2+3n\right] \to \left[1,2n+1\right]</math>,  <math> f\left(x\right) = \frac{\sqrt{8x+9}-1}{2}</math> ''și ''<math> g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]</math>, <math> g\left(x\right) = f^{-1}\left(x\right)</math>.''
''Fie <math>n\in \mathbb{N^\ast}</math> și funcțiile <math>f:\left[0,2n^2+3n\right] \to \left[1,2n+1\right]</math>,  <math> f\left(x\right) = \frac{\sqrt{8x+9}-1}{2}</math> ''și ''<math> g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]</math>, <math> g\left(x\right) = f^{-1}\left(x\right)</math>.''
Line 5: Line 5:
''Fie punctele'' <math>A\left(2n^2+3n,2n+1\right)</math>, <math>B\left(2n+1,2n^2+3n\right)</math> ''și mulțimea <math>M</math> a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor <math>f</math> și <math>g</math> și dreapta <math>AB</math>. Aflați numărul punctelor din <math>M</math> care au ambele coordonate întregi.''
''Fie punctele'' <math>A\left(2n^2+3n,2n+1\right)</math>, <math>B\left(2n+1,2n^2+3n\right)</math> ''și mulțimea <math>M</math> a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor <math>f</math> și <math>g</math> și dreapta <math>AB</math>. Aflați numărul punctelor din <math>M</math> care au ambele coordonate întregi.''


'''Soluție'''
'''Soluție.'''  
Cum <math>g = f^{-1}</math>, se obține că funcția <math>g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]</math> este definită prin <math>g\left(x\right) = \dfrac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{2}</math>. Avem <math>B\left(2n+1,2n^2+3n\right) \in G_f</math>, <math>A\left(2n^2+3n,2n+1\right) \in G_g </math> și <math>G_f \cap G_g = \left\{D\left(2,2\right)\right\}</math>.
Au loc inegalitățile <math>f\left(x\right) \le x</math> oricare ar fi <math>x \in \left[2,2n^2+3n\right]</math> și <math>g\left(x\right) \ge x</math> oricare ar fi <math>x \in \left[2, 2n+1\right]</math>.


Considerăm că mulțimea <math>M</math> este mulțimea tuturor punctelor din plan cuprinse în interiorul triunghiului curbiliniu <math>ABD</math>, deci este necesar să numărăm punctele laticeale din interiorul triunghiului curbiliniu <math>ABD</math>, vom nota cu <math>M_n</math> acest număr.
Cum <math>g = f^{-1}</math>, se obține că funcția <math>g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]</math> este definită prin <math>g\left(x\right) = \dfrac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{2}</math>. Mai mult, <math>g\left(k\right) \in \mathbb{N}</math> oricare ar fi <math>k \in \left[1, 2n+1\right] \cap \mathbb {N}</math>.
 
Avem <math>B\left(2n+1,2n^2+3n\right) \in G_g</math>, <math>A\left(2n^2+3n,2n+1\right) \in G_f </math> și <math>G_f \cap G_g = \left\{D\left(2,2\right)\right\}</math>.
 
Au loc inegalitățile <math>f\left(x\right) \le x</math> oricare ar fi <math>x \in \left[2,2n^2+3n\right]</math> și <math>g\left(x\right) \ge x</math> oricare ar fi <math>x \in \left[2, 2n+1\right]</math>.
 
Considerăm că mulțimea <math>M</math> este mulțimea tuturor punctelor din plan cuprinse în interiorul triunghiului curbiliniu <math>ABD</math>, deci este necesar să numărăm punctele laticeale din interiorul triunghiului curbiliniu <math>ABD</math>, vom nota cu <math>M_n</math> acest număr.


Între segmentele <math>G_f</math> și <math>G_g</math> se situează și punctul <math>Q\left(1,1\right)</math>, însă considerăm <math>M</math> ca fiind mulțimea închisă delimitată de <math>G_f</math>, <math>G_g</math> și <math>\left[AB\right]</math>.
Între segmentele <math>G_f</math> și <math>G_g</math> se situează și punctul <math>Q\left(1,1\right)</math>, însă considerăm <math>M</math> ca fiind mulțimea închisă delimitată de <math>G_f</math>, <math>G_g</math> și <math>\left[AB\right]</math>.


Fie punctele <math>C\left(2n^2+3n,2n^2+3n\right)</math>, <math>E\left(2,2n^2+3n\right)</math>, <math>F\left(2n^2+3n,2\right)</math> și \\ %<math>AB \cap CD = \left\{N\right\}<math>.
Fie punctele <math>C\left(2n^2+3n,2n^2+3n\right)</math>, <math>E\left(2,2n^2+3n\right)</math>, <math>F\left(2n^2+3n,2\right)</math>.  Observăm că, datorită simetriei, triunghiurile curbilinii <math>DBE</math> și <math>DAF</math> conțin același număr de puncte laticeale.  
<math>S_n</math> numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului curbiliniu <math>DBE</math>, respectiv <math>DAF<math>. Datorită simetriei triunghiurile curbilinii <math>DBE<math> și <math>DAF</math> conțin același număr de puncte laticeale.\\ <math>T_n</math> numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului <math>CAB</math>\\ <math>A_n</math> numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera pătratului <math>DFCE</math>.
 
Notăm cu <math>A_n</math> numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera pătratului <math>DFCE</math>., cu <math>T_n</math> numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului <math>CAB</math> și cu <math>
S_n</math> numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului curbiliniu <math>DBE</math>.
Avem <math>A_n = \left(2n^2+3n-1\right)^2</math>, <math>T_n = \sum\limits_{k=1}^{2n^2+n} k = \dfrac{1}{2}n\left(2n+1\right)\left(2n^2+n+1\right) </math> și <math>S_n = \sum\limits_{k=2}^{2n+1} \left(2n^2+3n+1-g\left(k\right)\right) = \dfrac{1}{3}n\left(2n+1\right)\left(4n+1\right).</math>
Avem <math display="block">A_n = \left(2n^2+3n-1\right)^2,</math> <math display="block">T_n = \sum\limits_{k=1}^{2n^2+n} k = \dfrac{1}{2}n\left(2n+1\right)\left(2n^2+n+1\right), </math> și <math display="block">S_n = \sum\limits_{k=2}^{2n+1} \left(2n^2+3n+1-g\left(k\right)\right) = \dfrac{1}{3}n\left(2n+1\right)\left(4n+1\right).</math>Atunci <math display="block">M_n = A_n - 2S_n -T_n+3,</math>în formula precedenă de adaugă <math>3</math> pentru a corecta faptul că punctele <math>A</math>, <math>B</math>, respectiv <math>D</math>, sunt puncte comune ale regiunilor <math>ADF</math>, <math>BDE</math>, respectiv <math>CAB</math>.  
Atunci <math>M_n = A_n - 2S_n -T_n+3</math>, în formula precedenă de adaugă <math>3<math> pentru a corecta faptul că punctele <math>A</math>, <math>B</math>, respectiv <math>D</math> sunt puncte comune ale regiunilor <math>ADF</math>, <math>BDE</math>, respectiv <math>CAB</math>. Se obține
 
<math>M_n = \dfrac{1}{6}\left(12n^4+28n^3-3n^2-43n+24\right), \enskip n\in \mathbb{N}^\ast.</math>
Se obține
Cazuri particulare: <math>M_1 = 3</math> este ușor de construit și verificat, <math>M_2 = 57</math> este reprezentat în figura de mai sus, <math>M_3 = 266 </math> și <math>M_4 = 778</math>.
<math display="block">M_n = \dfrac{1}{6}\left(12n^4+28n^3-3n^2-43n+24\right), n\in \mathbb{N}^\ast.</math>
[[File:Laticeale-5-2024.png|thumb|304x304px]]
'''Cazuri particulare:'''
 
<math>M_1 = 3</math> este ușor de construit și verificat,  
 
<math>M_2 = 57</math> este reprezentat în figura alăturată,  
 
<math>M_3 = 266 </math> și <math>M_4 = 778</math>.
 
'''Observație'''
Problema de mai sus este echivalentă cu următoarea problemă
 
''Fie <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math> un număr natural și funcția <math>f:\left[0,2n^2+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]</math>, cu <math>f\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{8x+9}-1}{2}</math>. Determinați valoarea sumei <math> S\left(n\right)=\sum\limits_{k=0}^{2n^2+3n} \left[f\left(k\right)\right]</math>, unde prin <math>\left[a\right]</math> s-a notat partea întreagă a numărului real <math>a\in \mathbb{R}</math>.''

Latest revision as of 08:27, 4 August 2025

28868 (Andrei Horvat-Marc)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N^\ast}} și funcțiile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\left[0,2n^2+3n\right] \to \left[1,2n+1\right]} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x\right) = \frac{\sqrt{8x+9}-1}{2}} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\left(x\right) = f^{-1}\left(x\right)} .

Fie punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\left(2n^2+3n,2n+1\right)} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\left(2n+1,2n^2+3n\right)} și mulțimea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor și și dreapta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} . Aflați numărul punctelor din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} care au ambele coordonate întregi.

Soluție.

Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g = f^{-1}} , se obține că funcția Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]} este definită prin Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\left(x\right) = \dfrac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{2}} . Mai mult, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\left(k\right) \in \mathbb{N}} oricare ar fi Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \in \left[1, 2n+1\right] \cap \mathbb {N}} .

Avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\left(2n+1,2n^2+3n\right) \in G_g} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\left(2n^2+3n,2n+1\right) \in G_f } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_f \cap G_g = \left\{D\left(2,2\right)\right\}} .

Au loc inegalitățile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x\right) \le x} oricare ar fi Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in \left[2,2n^2+3n\right]} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\left(x\right) \ge x} oricare ar fi Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in \left[2, 2n+1\right]} .

Considerăm că mulțimea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} este mulțimea tuturor punctelor din plan cuprinse în interiorul triunghiului curbiliniu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABD} , deci este necesar să numărăm punctele laticeale din interiorul triunghiului curbiliniu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABD} , vom nota cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_n} acest număr.

Între segmentele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_f} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_g} se situează și punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q\left(1,1\right)} , însă considerăm Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} ca fiind mulțimea închisă delimitată de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_f} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_g} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[AB\right]} .

Fie punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C\left(2n^2+3n,2n^2+3n\right)} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\left(2,2n^2+3n\right)} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\left(2n^2+3n,2\right)} . Observăm că, datorită simetriei, triunghiurile curbilinii Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DBE} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DAF} conțin același număr de puncte laticeale.

Notăm cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n} numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera pătratului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DFCE} ., cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n} numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CAB} și cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n} numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului curbiliniu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DBE} .

Avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n = \left(2n^2+3n-1\right)^2,} Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n = \sum\limits_{k=1}^{2n^2+n} k = \dfrac{1}{2}n\left(2n+1\right)\left(2n^2+n+1\right), } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n = \sum\limits_{k=2}^{2n+1} \left(2n^2+3n+1-g\left(k\right)\right) = \dfrac{1}{3}n\left(2n+1\right)\left(4n+1\right).} Atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_n = A_n - 2S_n -T_n+3,} în formula precedenă de adaugă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3} pentru a corecta faptul că punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} , respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} , sunt puncte comune ale regiunilor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ADF} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BDE} , respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CAB} .

Se obține Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_n = \dfrac{1}{6}\left(12n^4+28n^3-3n^2-43n+24\right), n\in \mathbb{N}^\ast.}

Cazuri particulare:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_1 = 3} este ușor de construit și verificat,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_2 = 57} este reprezentat în figura alăturată,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_3 = 266 } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_4 = 778} .

Observație Problema de mai sus este echivalentă cu următoarea problemă

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N}^\ast} un număr natural și funcția Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\left[0,2n^2+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]} , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{8x+9}-1}{2}} . Determinați valoarea sumei Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\left(n\right)=\sum\limits_{k=0}^{2n^2+3n} \left[f\left(k\right)\right]} , unde prin Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[a\right]} s-a notat partea întreagă a numărului real Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in \mathbb{R}} .

Retrieved from "http://wiki.universitas.ro/index.php?title=28868&oldid=10664"