14309: Difference between revisions

Latest revision as of 07:33, 19 January 2025

E:14309 (Alexandru Vele)

Determinați numerele naturale $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ astfel încât să avem egalitatea

2012=a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}.

Arătați că

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=m^{2}+n^{2},m,n\in \mathrm {N}

Soluție.

Dacă $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ sunt mai mici decât $3$ , atunci $a_{1}\cdot 3^{x}+a_{2}\cdot 3^{y}+a_{3}\cdot 3^{z}+a_{4}\cdot 3^{t}+a_{5}\cdot 3^{u}+a_{6}\cdot 3^{r}+a_{7}\cdot 3^{s}$ poate fi privită ca scrierea în baza $3$ a numărului $2012$ . Cum

2012=2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}+0\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{5}.+2\cdot 3^{6}

avem

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=2+1+1+2+0+2+2=10=1^{2}+3^{2}.

Dacă cel puțin unul dintre numerele

a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}

este mai mare sau egal cu

3

, atunci problema nu mai rămâne adevărată; numărul

2012

se poate scrie ca o suma de puteri ale lui

3

, dar suma

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}

nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.

Revision as of 07:29, 19 January 2025 view source Andrei.Horvat (talk \| contribs) 551 edits mNo edit summary Tag: Visual edit ← Older edit		Latest revision as of 07:33, 19 January 2025 view source Andrei.Horvat (talk \| contribs) 551 edits No edit summary
(2 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 3:		Line 3:
	''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea''<math display="block">2012 = a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s.</math>''Arătați că'' <math display="block">a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = m^2 + n^2, m,n\in\Nu</math>'''Soluție.'''		''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea''<math display="block">2012 = a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s.</math>''Arătați că'' <math display="block">a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = m^2 + n^2, m,n\in\Nu</math>'''Soluție.'''

	Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>sunt mai mici ~~decât3~~, atunci <math>a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza 3 a ~~lui~~ 2012. Cum <math>2012 = 2\cdot3^0 + 1\cdot3^1 + 1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 0\cdot3^4 + 2\cdot3^5. + 2\cdot3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2.</math> Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o suma de puteri ale lui 3, dar suma a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.		Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>sunt mai mici decât <math>3</math>, atunci <math>a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza <math>3</math> a numărului <math>2012</math>. Cum <math display="block">2012 = 2\cdot3^0 + 1\cdot3^1 + 1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 0\cdot3^4 + 2\cdot3^5. + 2\cdot3^6</math> avem <math display="block">a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2.</math> Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu <math>3</math>, atunci problema nu mai rămâne adevărată; numărul <math>2012</math> se poate scrie ca o suma de puteri ale lui <math>3</math>, dar suma <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.