|
|
(4 intermediate revisions by the same user not shown) |
Line 1: |
Line 1: |
| '''E:14309 (Bogdan Pop)''' | | '''E:14309 (Alexandru Vele)''' |
|
| |
|
| ''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:'' | | ''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea''<math display="block">2012 = a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s.</math>''Arătați că'' <math display="block">a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = m^2 + n^2, m,n\in\Nu</math>'''Soluție.''' |
|
| |
|
| <math>2012 = a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s.</math>
| | Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>sunt mai mici decât <math>3</math>, atunci <math>a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza <math>3</math> a numărului <math>2012</math>. Cum <math display="block">2012 = 2\cdot3^0 + 1\cdot3^1 + 1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 0\cdot3^4 + 2\cdot3^5. + 2\cdot3^6</math> avem <math display="block">a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2.</math> Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu <math>3</math>, atunci problema nu mai rămâne adevărată; numărul <math>2012</math> se poate scrie ca o suma de puteri ale lui <math>3</math>, dar suma <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate. |
| | |
| Arătați că <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = m^2 + n^2, m,n\in\Nu</math>
| |
| | |
| ''Alexandru Vele, Târgu Lăpuș''
| |
| | |
| ''Soluție. Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math>'' sunt mai mici decât 3, atunci ''<math>a_1 \cdot3^x + a_2\cdot3^y + a_3\cdot3^z + a_4\cdot3^t + a_5\cdot3^u + a_6\cdot3^r + a_7\cdot3^s</math>'' poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2\cdot3^0 + 1\cdot3^1 + 1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 0\cdot3^4 + 2\cdot3^5. + 2\cdot3^6</math> avem <math>a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2.</math> Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o suma de puteri ale lui 3, dar suma a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.
| |
E:14309 (Alexandru Vele)
Determinați numerele naturale astfel încât să avem egalitatea
Arătați că Soluție.
Dacă sunt mai mici decât , atunci poate fi privită ca scrierea în baza a numărului . Cum
avem
Dacă cel puțin unul dintre numerele
este mai mare sau egal cu
, atunci problema nu mai rămâne adevărată; numărul
se poate scrie ca o suma de puteri ale lui
, dar suma
nu se mai scrie, sigur, ca sumă de două pătrate.