14310: Difference between revisions

Latest revision as of 18:24, 12 January 2025

E:14310 (Traian Covaciu)

Fie $n,n+2,n+6$ trei numere naturale și $S$ suma lor.

a) Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru $n\in \mathbb {N}$ astfel încât numerele $n,n+2,n+6$ să fie simultan numere prime.

b) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt simultan numere prime, arătați că există $k\in \mathbb {N}$ astfel încât $S=9k+5$ .

c) Dacă $n,n+2,n+6$ sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului $S$ la $18$ .

Soluție:

a) Pentru $n=5$ numerele sunt $5,7,11$ . Pentru $n=11$ avem $11,13,17$ , iar pentru $n=17$ obținem $17,19,23$ .

b) Se știe că numerele prime au forma $6p+1$ sau $6p+5$ . Dacă $n=6p+1$ , atunci $n+2=6p+3$ care nu este numar prim. Așadar, $n=6p+5$ . În această situație avem $S=6p+5+6p+7+6p+11=18p+23=9(2p+2)+5$ . În concluzie, există $k=2p+2$ astfel încât $S=9k+5$ .

c) Din punctul b) avem $S=18(p+1)+5$ , deci restul împărțirii lui $S$ la $18$ este $5$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''14310 (Traian Covaciu)'''
+'''E:14310 (Traian Covaciu)'''
 ''Fie <math>n, n + 2, n + 6 </math> trei numere naturale și <math> S </math> suma lor.''
-a) ''Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru <math> n \in \mathbb{N}</math> astfel incat numerele <math> n, n + 2, n + 6 </math> sa fie simultan numere prime.'' <p>
+a) ''Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru <math> n \in \mathbb{N}</math> astfel încât numerele <math> n, n + 2, n + 6 </math> să fie simultan numere prime.'' <p>
-b) ''Daca <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt simultan numere prime, aratati ca exista <math> k \in \mathbb{N} </math> astfel incat <math> S = 9k + 5</math>. '' <p>
+b) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt simultan numere prime, arătați că există <math> k \in \mathbb{N} </math> astfel încât <math> S = 9k + 5</math>. '' <p>
-c) ''Daca <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinati restul impartirii numarului <math> S</math> la <math> 18 </math>.''
+c) ''Dacă <math> n, n + 2, n + 6 </math> sunt numere prime, determinați restul împărțirii numărului <math> S</math> la <math> 18 </math>.''
 <p>
-'''Solutie:''' <p>
+'''Soluție:''' <p>
-a) Pentru <math> n = 5 </math> numerele sunt <math> 5, 7, 11 </math>. Pentru <math> n = 11 </math> avem <math> 11, 13, 17 </math>, iar pentru <math> n = 17 </math> obtinem <math> 17, 19, 23 </math>. <p>
+a) Pentru <math> n = 5 </math> numerele sunt <math> 5, 7, 11 </math>. Pentru <math> n = 11 </math> avem <math> 11, 13, 17 </math>, iar pentru <math> n = 17 </math> obținem <math> 17, 19, 23 </math>. <p>
-b) Se stie ca numerele prime au forma <math> 6p + 1 </math> sau <math> 6p + 5 </math>. Daca <math> n = 6p + 1</math>, atunci <math> n + 2 = 6p + 3 </math> care nu este numar prim. Asadar, <math> n = 6p + 5 </math>. In aceasta situatie avem <math> S = 6p + 5 + 6p + 7 + 6p + 11 = 18p + 23 = 9(2p + 2) + 5 </math>. In concluzie, exista <math> k = 2p + 2 </math> astfel incat <math> S = 9k + 5 </math>. <p>
+b) Se știe că numerele prime au forma <math> 6p + 1 </math> sau <math> 6p + 5 </math>. Dacă <math> n = 6p + 1</math>, atunci <math> n + 2 = 6p + 3 </math> care nu este numar prim. Așadar, <math> n = 6p + 5 </math>. În această situație avem <math> S = 6p + 5 + 6p + 7 + 6p + 11 = 18p + 23 = 9(2p + 2) + 5 </math>. În concluzie, există <math> k = 2p + 2 </math> astfel încât <math> S = 9k + 5 </math>. <p>
-c) Din punctul b) avem <math> S = 18(p + 1) + 5 </math>, deci restul impartirii lui <math> S </math> la <math> 18 </math> este <math> 5 </math>.
+c) Din punctul b) avem <math> S = 18(p + 1) + 5 </math>, deci restul împărțirii lui <math> S </math> la <math> 18 </math> este <math> 5 </math>.