28206: Difference between revisions

Latest revision as of 11:01, 3 January 2025

28206 (Dana Heuberger)

Fie $\left(G,\cdot \right)$ un grup cu elementul neutru $e$ care conține subgrupurile proprii, distincte, finite $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ , astfel încât pentru orice permutare $\sigma \in S_{3}$ și orice $a\in H_{\sigma \left(1\right)}\setminus \left\{e\right\}$ , $b\in H_{\sigma \left(2\right)}\setminus \left\{e\right\}$ , rezultă că $ab\in H_{\sigma \left(3\right)}$ .

Arătați că subgrupurile $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ au același număr de elemente.
Dacă $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$ , arătați că grupul $G$ este de tip Klein.

Soluție.

a) Pentru orice subgrup $H$ a lui $G$ , notăm $H^{\ast }=H\setminus \left\{e\right\}$ .

Arătăm mai întâi că $H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ .

Presupunem că există $a\in H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}$ , cu $a\neq e$ . Din ipoteză, rezultă că $H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\subset H_{3}$ , deci $H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }\subset H_{3}\cdot H_{3}^{\ast }=H_{3}$ . Cum $a\in H_{2}^{\ast }$ și $a^{-1}\in H_{3}^{\ast }$ , rezută că $e=a\cdot a^{-1}\in H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }$ , deci $H_{1}^{\ast }\subset H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }\subset H_{3}$ , așadar $H_{1}^{\ast }\subset H_{3}$ , adică $H_{1}\subset H_{3}$ . În mod analog, se arată că $H_{3}\subset H_{1}$ . Rezultă că $H_{1}=H_{3}$ , ceea ce contrazice ipoteza. În consecință, $H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ .

Arătăm, mai departe, că $H_{1}\cap H_{2}=H_{2}\cap H_{3}=H_{1}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ .

Presupunem că există $a\in H_{1}\cap H_{2}$ , cu $a\neq e$ . Dacă $H_{1}$ are cel puțin trei elemente, alegem $x\in H_{1}\setminus \left\{e,a\right\}$ . Cum $xa^{-1}\in H_{1}^{\ast }$ și $a\in H_{2}^{\ast }$ , rezultă că $xa^{-1}a=x\in H_{3}$ , deci $H_{1}\setminus \left\{e,a\right\}\subset H_{3}$ , așadar $H_{1}\setminus \left\{a\right\}\subset H_{3}$ . Subgrupul $\langle H_{1}\setminus \{a\}\rangle$ generat de $H_{1}\setminus \{a\}$ este un grup al lui $H_{1}$ . Deoarece ordinul lui $\langle H_{1}\setminus \{a\}\rangle$ este cel puțin $2$ și trebuie să dividă ordinul lui $H_{1}$ , rezultă că $\langle H_{1}\setminus \{a\}\rangle =H_{1}$ . Cum $H_{3}$ este subgrup al lui $G$ , iar $H_{1}\setminus \left\{a\right\}\subset H_{3}$ , rezultă că și $\langle H_{1}\setminus \{a\}\rangle =H_{1}$ este inclus în $H_{3}$ , deci $a\in H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ , fals. Așadar, $H_{1}$ nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă $H_{1}=\{e,a\}$ , atunci $H_{2}$ are cel puțin trei elemente, pentru că $H_{2}\neq H_{1}$ , și, ca mai înainte, rezultă că $H_{2}\subset H_{3}$ , așadar $a\in H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ , fals. În consecință, $H_{1}\cap H_{2}=\{e\}$ . La fel se arată că $H_{2}\cap H_{3}=H_{1}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$ . Fie $|H_{1}|=m$ , $|H_{2}|=n$ , $|H_{3}|=p$ , cu $H_{1}=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}\}$ , $H_{2}=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ și $H_{3}=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{p}\}$ . Cum elementele distincte $a_{1}b_{1},a_{2}b_{1},\ldots ,a_{m}b_{1}$ aparțin mulțimii $H_{1}^{\ast }$ , rezultă că $p\leq m$ , deci $m=p$ . Analog se arată că $m=n$ , deci $m=n=p$ . Așadar, $|H_{1}|=|H_{2}|=|H_{3}|=n+1$ .

b) Fie $i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}$ și $a_{i},a_{j}\in H_{1}^{\ast }$ .

Atunci $H_{3}^{\ast }=\left\{a_{i}b_{1},a_{i}b_{2},\ldots ,a_{i}b_{n}\}=\{a_{j}^{-1}b_{1},a_{j}^{-1}b_{2},\ldots ,a_{j}^{-1}b_{n}\right\}$ , așadar există $s,t\in \{1,2,\ldots ,n\}$ pentru care $a_{i}b_{s}=a_{j}^{-1}b_{t}$ , deci $a_{j}a_{i}=b_{t}b_{s}^{-1}\in H_{2}$ . Dar $H_{1}\cap H_{2}=\{e\}$ , astfel că pentru orice $i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}$ avem $a_{j}a_{i}=e$ . În consecință, subgrupurile $H_{1}$ , $H_{2}$ și $H_{3}$ pot avea câte două sau câte trei elemente. Dacă $|H_{1}|=|H_{2}|=|H_{3}|=3$ , atunci $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$ are șapte elemente, iar $|H_{1}|$ nu divide $.|G|$ , contradicție. Așadar, $H_{1}=\{e,a\}$ , $H_{2}=\{e,b\}$ , $H_{3}=\{e,c\}$ , cu $a^{2}=b^{2}=c^{2}=e$ , deci grupul $G=\{e,a,b,c\}$ este de tip Klein.

@@ Line 13: / Line 13: @@
 Arătăm mai întâi că <math>H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.
-Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 \cap H_3</math>, cu <math>a \ne e</math>. Din ipoteză, rezultă că <math>H_1^\ast \cdot H_2^\ast \subset H_3</math>, deci <math>H_1^\ast \cdot H_2^\ast \cdot H_3^\ast \subset H_3 \cdot H_3^\ast = H_3</math>. Cum <math>a\in H_2^\ast</math> și <math>a^{-1} \in H_3^\ast</math>, rezută că <math>e = a \cdot a^{-1} \in H_2^\ast \cdot H_3^\ast </math>, deci <math>H_1^\ast \subset H_1^\ast \cdot H_2^\ast \cdot H_3^\ast \subset H_3</math>, așadar <math>H_1^\ast \subset H_3 </math>, adică <math>H_1 \subset H_3 </math> Dacă
+Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 \cap H_3</math>, cu <math>a \ne e</math>. Din ipoteză, rezultă că <math>H_1^\ast \cdot H_2^\ast \subset H_3</math>, deci <math>H_1^\ast \cdot H_2^\ast \cdot H_3^\ast \subset H_3 \cdot H_3^\ast = H_3</math>. Cum <math>a\in H_2^\ast</math> și <math>a^{-1} \in H_3^\ast</math>, rezută că <math>e = a \cdot a^{-1} \in H_2^\ast \cdot H_3^\ast </math>, deci <math>H_1^\ast \subset H_1^\ast \cdot H_2^\ast \cdot H_3^\ast \subset H_3</math>, așadar <math>H_1^\ast \subset H_3 </math>, adică <math>H_1 \subset H_3 </math>. În mod analog, se arată că <math>H_3 \subset H_1 </math>. Rezultă că <math>H_1 = H_3 </math>, ceea ce contrazice ipoteza. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.
+Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.
+Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 = \{e\} </math>. La fel se arată că <math>H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>. Fie <math>|H_1| = m</math>, <math>|H_2| = n</math>, <math>|H_3| = p</math>, cu <math>H_1 = \{a_1, a_2, \ldots, a_m\}</math>, <math>H_2 = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}</math> și <math>H_3 = \{c_1, c_2, \ldots, c_p\}</math>. Cum elementele distincte <math>a_1b_1, a_2b_1, \ldots, a_mb_1 </math> aparțin mulțimii <math>H_1^\ast</math>, rezultă că <math> p \le m </math>, deci <math> m = p </math>. Analog se arată că <math> m = n </math>, deci <math> m = n = p </math>. Așadar, <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = n+1 </math>.
+b) Fie <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> și <math>a_i, a_j \in H_1^\ast</math>.
+Atunci <math>H_3^\ast = \left\{ a_i b_1, a_ib_2, \ldots, a_ib_n \} = \{ a_j^{-1}b_1, a_j^{-1}b_2, \ldots , a_j^{-1}b_n \right\}</math>, așadar există <math>s,t \in \{1,2, \ldots, n\}</math> pentru care <math>a_ib_s = a_j^{-1}b_t</math>, deci <math>a_ja_i = b_tb_s^{-1} \in H_2</math>. Dar <math>H_1 \cap H_2 = \{e\}</math>, astfel că pentru orice <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> avem <math>a_ja_i = e</math>. În consecință, subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> pot avea câte două sau câte trei elemente. Dacă <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = 3 </math>, atunci <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math> are șapte elemente, iar <math>| H_1 | </math> nu divide <math>. | G | </math>, contradicție. Așadar, <math>H_1 = \{e,a\}</math>, <math>H_2 = \{e,b\}</math>, <math>H_3 = \{e,c\}</math>, cu <math>a^2 = b^2 = c^2 = e</math>, deci grupul <math> G = \{e,a,b,c\}</math> este de [[wikipedia:Klein_four-group|tip Klein]].