14527: Difference between revisions

Latest revision as of 12:45, 2 January 2025

E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)

Pentru orice număr natural nenul $n$ , notăm $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$ și $0!=1$ .

a) Arătați că $\left(n+1\right)\cdot {\bigl (}n+1{\bigr )}!-n\cdot n!=\left(n^{2}+n+1\right)\cdot n!$

b) Dacă $A=\left(60^{2}+60+1\right)\cdot 60!+\left(59^{2}+59+1\right)\cdot 59!+\ldots +\left(1^{2}+1+1\right)\cdot 1!+(0^{2}+0+1)\cdot 0!$ , atunci $A$ se divide cu $2013^{2}$ .

Soluție

a) Începem cu partea stângă a egalității $\left(n+1\right)\cdot \left(n+1\right)!-n\cdot n!$

Avem $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ , deci $(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)^{2}\cdot n!$ . Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine $\left(n+1\right)^{2}\cdot n!-n\cdot n!=n!\cdot \left(n^{2}+2n+1-n\right)=\left(n^{2}+n+1\right)\cdot n!$ .

b) Folosind egalitatea de la a), se obține

{\begin{aligned}A&=\left(60^{2}+60+1\right)\cdot 60!+\left(59^{2}+59+1\right)\cdot 59!+\ldots +\left(1^{2}+1+1\right)\cdot 1!+(0^{2}+0+1)\cdot 0!\\&=61!\cdot 61-60!\cdot 60+60!\cdot 60-59!\cdot 59+\ldots +2!\cdot 2-1!\cdot 1+1!\cdot 1-0!\cdot 0\\&=61!\cdot 61\end{aligned}}

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''
+'''E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)'''
 ''Pentru orice număr natural nenul <math>n</math> , notăm <math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n</math> și <math>0! = 1</math>.''
@@ Line 5: / Line 5: @@
 ''a) Arătați că <math>\left( n+1\right) \cdot \bigl(n+1\bigr) ! - n \cdot n ! = \left( n^2 + n + 1 \right) \cdot n ! </math>''
-'''Soluție'''
+''b) Dacă <math>A = \left( 60^2 + 60 + 1\right) \cdot 60 ! + \left( 59^2 + 59 + 1\right) \cdot  59! + \ldots + \left( 1^2 + 1 + 1\right) \cdot 1! + (0^2 + 0 + 1) \cdot 0!</math>, atunci <math>A</math> se divide cu <math>2013^2</math>.''
-Începem cu partea stângă a ecuației:
-(n + 1) · (n + 1)! − n · n! Folosind definiția factorialului, avem:
-Astfel, putem scrie:
-(n + 1)! = (n + 1) · n!
-(n + 1) · (n + 1)! = (n + 1) · (n + 1) · n! = (n + 1)2 · n!
-Deci, partea stângă devine:
-(n + 1)2 · n! − n · n!
-Factorizăm n!:
-= n!((n + 1)² − n)
-Calculăm (n + 1)² − n:
-(n + 1)² − n = n² + 2n + 1 − n = n² + n + 1
-Astfel, partea stângă devine:
-n! · (n² + n + 1)
-Deci, am demonstrat că:
-(n + 1) · (n + 1)! − n · n! = (n² + n + 1) · n!
-b) Dacă A = (60² + 60 + 1) · 60! + (59² + 59 + 1) · 59! +. . . + (1² + 1 + 1) · 1! + (0² + 0 + 1) · 0!, atunci A se
-divide cu 2013².
 '''Soluție'''
-Observăm că fiecare termen din sumă poate fi scris astfel:
+a) Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>
-k² + k + 1 = (k + 1)² − k
-Astfel, putem rescrie A:
-[[File:6678 2013 e14527.pdf - Adobe Acrobat Pro.jpg|alt=O ecuatie care mi-ar lua prea mult timp sa o redactez manual pe si cu ustensilele oferite de acest wiki.|left|thumb|237x237px]]
-Separăm suma:
-[[File:6678 2013 e14527(6).png|left|thumb]]
-Calculăm fiecare sumă în parte. Prima sumă devine:
-[[File:6678 2013 e14527(2).png|left|thumb|257x257px]]
-Folosind identitatea k2 · (k − 1)! = k! · k + k!:
-[[File:6678 2013 e14527(3).png|left|thumb|211x211px]]
-A doua sumă este:
-[[File:6678 2013 e14527(4).png|left|thumb]]
-Astfel, putem scrie:
-[[File:6678 2013 e14527(5).png|left|thumb]]
-Observăm că termenii se simplifică, iar suma finală devine:
-A = 61! + 60! + 1
-Acum, să verificăm dacă A se divide cu 2013². Observăm că:
-Astfel, putem scrie:
-= 3 · 11 · 61
-² = (3 · 11 · 61)² = ²2 · 11² · 61²
-Acum, să verificăm dacă A = 61! + 60! + 1 se divide cu 2013².
+Avem  <math> (n+ 1) ! = (n + 1) \cdot n! </math>, deci <math> (n + 1) \cdot (n + 1) ! = (n + 1)^2 \cdot n!</math>. Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine <math>\left( n+1 \right)^2 \cdot n!  - n\cdot n! = n! \cdot \left( n^2 + 2n +1 - n\right) = \left(n^2 +n+1 \right) \cdot n!</math>.
-# **Divizibilitatea cu 32**: - Atât 61! cât și 60! cont, in factori de 3, deci 61! + 60! este divizibil cu 3. - De asemenea, 1 nu este divizibil cu 3, dar suma 61! + 60! este mult mai mare decât 1 și va conține suficienți factori de 3 pentru a asigura divizibilitatea cu 3².
+b) Folosind egalitatea de la a), se obține ''<math display="block">\begin{align} A & =
-# **Divizibilitatea cu 11²**: - Similar, atât 61! cât și 60! conțin factori de 11, deci 61! + 60! este divizibil cu 11. - Din nou, 1 nu afectează divizibilitatea generală, iar suma va conține suficienți factori de 11 pentru a asigura divizibilitatea cu 11².
+\left( 60^2 + 60 + 1\right) \cdot 60 ! + \left( 59^2 + 59 + 1\right) \cdot  59! + \ldots + \left( 1^2 + 1 + 1\right) \cdot 1! + (0^2 + 0 + 1) \cdot 0! \\
-# **Divizibilitatea cu 61²**: - Atât 61! cât și 60! conțin factori de 61, deci 61! + 60! este divizibil cu 61. - La fel ca și în cazurile anterioare, 1 nu afectează divizibilitatea generală, iar suma va conține suficienți factori de 61 pentru a asigura divizibilitatea cu 61².
+& = 61! \cdot 61 - 60! \cdot 60 + 60!\cdot 60 - 59!\cdot 59 + \ldots + 2!\cdot 2 - 1! \cdot1 + 1! \cdot 1 - 0! \cdot 0 \\ & = 61! \cdot 61
+\end{align}</math>''Pe de altă parte, avem <math>2013^2 = 3^2 \cdot 11^2 \cdot 61^2 </math>.
-Prin urmare, am demonstrat că A se divide cu 2013².
+Cum produsul <math>A = 61! \cdot 61</math> conține ca factori pe <math>3^2</math>, pe <math>11^2</math>, respectiv pe <math>61^2</math>, se deduce că <math>A</math> se divide cu <math>2013^2</math>.