E:5743: Difference between revisions

Latest revision as of 05:01, 8 December 2024

E:5743 (Grigore Balog)

Fie $A$ mulțimea numerelor de forma ${\overline {7a8b}}$ , care se divid cu $15$ și $B$ mulțimea numerelor de forma ${\overline {7x8y}}$ , care se divid cu $40$ . Să se determine mulțimile $A\cup B$ , $A\cap B$ și $A\setminus B$ .

Soluție:

Dacă $15|{\overline {7a8b}}$ , atunci $5|{\overline {7a8b}}$ și $3|{\overline {7a8b}}$ . Din $5|{\overline {7a8b}}$ , se obține $b\in \left\{0,5\right\}$ . Din $3|{\overline {7a8b}}$ , se obține $a+b\in {\mathcal {M}}_{3}$ . Pentru $b=0$ rezultă $a\in \left\{0,3,6,9\right\}$ . Pentru $b=5$ rezultă $a\in \left\{1,4,7\right\}$ . Deci

A=\left\{n\in \mathbb {N} ,n={\overline {7a8b}},15|n\right\}=\left\{7080,7185,7380,7485,7680,7785,7980\right\}.

Dacă

40|{\overline {7x8y}}

, atunci

8|{\overline {7x8y}}

și

5|{\overline {7x8y}}

. Cum

y

este par, din

5|{\overline {7x8y}}

se obține

y=0

. Rezultă

{\overline {7x80}}\,\vdots \,8

, ceea ce implică

4x\,\vdots \,8

. Atunci

x\in \left\{0,2,4,6,8\right\}

. Deci

B=\left\{n\in \mathbb {N} ,n={\overline {7x8y}},40|n\right\}=\left\{7080,7280,7480,7680,7880\right\}.

Se obține $A\cup B=\left\{7080,7185,7280,7380,7480,7485,7680,7785,7880,7980\right\}$ $A\cap B=\left\{7080,7680\right\}$ $A\setminus B=\left\{7185,7380,7485\,7785,7980\right\}$

@@ Line 3: / Line 3: @@
 ''Fie <math>A</math> mulțimea numerelor de forma <math>\overline{7a8b}</math>, care se divid cu <math>15</math> și <math>B</math> mulțimea numerelor de forma <math>\overline{7x8y}</math>, care se divid cu <math>40</math>. Să se determine mulțimile <math>A \cup B</math>, <math>A\cap B</math> și <math>A\setminus B</math>.''
-Soliție
+'''Soluție:'''
-Dacă <math>15 | \overline{7a8b}</math>, atunci <math>5 | \overline{7a8b}</math> și <math>3 | \overline{7a8b}</math>. Din <math>5 | \overline{7a8b}</math>, se obține <math> b \in \left\{0,5\right\}</math>. Din <math>3 | \overline{7a8b}</math>, se obține <math> a+b \in \mathcal{M}_3</math>. Pentru <math>b=0</math> rezultă <math> a \in \left\{0,3,6,9\right\}</math>. Pentru <math>b=5</math> rezultă <math> a \in \left\{1,4,7\right\}</math>. Deci
+Dacă <math>15 | \overline{7a8b}</math>, atunci <math>5 | \overline{7a8b}</math> și <math>3 | \overline{7a8b}</math>. Din <math>5 | \overline{7a8b}</math>, se obține <math> b \in \left\{0,5\right\}</math>. Din <math>3 | \overline{7a8b}</math>, se obține <math> a+b \in \mathcal{M}_3</math>. Pentru <math>b=0</math> rezultă <math> a \in \left\{0,3,6,9\right\}</math>. Pentru <math>b=5</math> rezultă <math> a \in \left\{1,4,7\right\}</math>. Deci<math display="block">A = \left\{ n\in  \mathbb{N},  n=\overline{7a8b} , 15 | n   \right\} = \left\{ 7080, 7185, 7380, 7485, 7680, 7785, 7980\right\}.</math>Dacă <math>40 | \overline{7x8y}</math>, atunci <math>8 | \overline{7x8y}</math> și <math>5 | \overline{7x8y}</math>. Cum <math>y</math> este par, din <math>5 | \overline{7x8y}</math> se obține <math>y=0</math>. Rezultă <math>\overline{7x80} \, \vdots \, 8</math>, ceea ce implică <math>4x \, \vdots \, 8</math>. Atunci <math> x \in \left\{0,2, 4, 6, 8\right\}</math>. Deci<math display="block">B = \left\{ n\in  \mathbb{N},  n=\overline{7x8y} , 40 | n   \right\} = \left\{ 7080, 7280, 7480, 7680, 7880\right\}.</math>Se obține ''<math display="block">A \cup B = \left\{ 7080, 7185, 7280, 7380, 7480, 7485, 7680, 7785, 7880, 7980 \right\}</math><math display="block">A\cap B = \left\{ 7080, 7680\right\}</math><math display="block">A\setminus B = \left\{ 7185, 7380, 7485\, 7785, 7980 \right\}</math>''