Vizualizare sursă pentru „S:L15.228”

'''S:L15.228 (Iulian Bunu)'''

''Fie șirul de numere reale'' <math> \left(a_n \right)_{n\ge 1}</math>, ''cu'' <math>a_1=5</math>, <math>a_2 = 7 </math>, <math>a_3 =10 </math> ''și'' <math>a_{n+1} = a_1+a_2+\ldots + a_{n-1} - a_n </math> p''entru orice'' <math>n>3</math> 

''și'' <math> \left(b_n \right)_{n\ge 1}</math>, cu <math> b_n  = \sum\limits_{k=1}^n a_k</math>. 

''Calculați'' <math> \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{b_{2n}}{b_{2n+1}}</math>

'''Soluție'''

Folosind inducția matematică se demonstrează că <math> a_{2n} = 2^{n-1} </math> oricare ar fi <math> n\ge 1</math> și <math> a_{2n+1} = 5 \cdot 2^{n} </math> oricare ar fi <math> n\ge 0 </math>.

Avem <math display="block"> b_{2n} = a_1+a_2+\ldots + a_{2n} = a_{2n+1} + a_{2n+2}</math>și<math display="block"> b_{2n+1} = a_1+a_2+\ldots + a_{2n+1} = a_{2n+2} + a_{2n+3}</math>Atunci<math display="block"> \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{b_{2n}}{b_{2n+1}} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{5\cdot 2^n + 2^n}{2^n + 5\cdot 2^{n+1}} = \dfrac{6}{11}.</math>