Editing Problema 1


==== Autori ====
* Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara 
* Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București

=== Enunț ===
Fie &Gamma; cercul circumscris unui triunghi ascuțitunghic ''ABC''. Punctele ''D'' și ''E'' se află pe segmentele ''AB'' și respectiv ''AC'', astfel încât ''AD'' = ''AE''.Mediatoarele segmentelor ''BD'' și ''CE'' intersectează arcele mici ''AB'' și ''AC'' ale cercului Γ în punctele ''F'' și respectiv ''G''. Demonstrați că dreptele ''DE'' și ''FG'' sunt paralele sau coincid.
[[File:Cerc.jpg|200px|thumb|left|Diagrama]]
=== Soluție ===
Vom prezenta soluția dată în concurs de ''Edis''.
Pe arcele mici <math>\overset{\frown}{AB}</math> și respectiv <math>\overset{\frown}{AC}</math> ale cercului &Gamma; considerăm punctele ''X'' și respectiv ''Y'', astfel incât ''AX = AD = AE = AY''.<br/>
&nbsp; Deoarece <math>\measuredangle FXA = 180^\circ - \measuredangle FCA = 180^\circ - \measuredangle FBD = 180^\circ - \measuredangle FDB = \measuredangle FDA</math> și ''AX'' = ''AD'', rezultă ușor că punctul ''X'' este simetricul 
lui ''D'' față de dreapta ''FA''. De aici rezultă că ''FX = FD = FB''.<br/>
&nbsp; Fie <math>G^\prime</math> al doilea punct de intersecție al dreptei ''XE'' cu cercul &Gamma;.<br/>
Deoarece ''AX = AE'' iar patrulaterul <math>XAG^\prime C</math> este inscriptibil, rezultă că <math>\measuredangle XEA = 90^\circ -  \dfrac{1}{2} \measuredangle XAE = 90^\circ -\dfrac{1}{2}\measuredangle XAC = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle XG^\prime C</math>.
Obținem astfel că <math>\measuredangle G^\prime EC$ = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle EG^\prime C</math> și deci <math>EG^\prime = CG^\prime</math>, adică <math>G^\prime = G</math>. Așadar punctele ''X'',''E'' și ''G'' sunt coliniare. Analog se arată că ''Y'', ''D'' și ''F'' sunt coliniare.<br/>
&nbsp; Fie <math>\{O\} = EX \cap DY = GE \cap FD </math>. Atunci <math>\measuredangle OED
= \dfrac{1}{2}\measuredangle XAD = \measuredangle FAD = \measuredangle FGB</math>. Din ''FB = FX'' obținem <math>\measuredangle FGB = \measuredangle FXB = \measuredangle FBX = \measuredangle EGF</math>. În final, avem <math>\measuredangle OED = \measuredangle FGB = \measuredangle OGF</math> și deci dreptele ''DE'' și ''FG'' sunt paralele sau coincid, ceea ce trebuia demonstrat.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Ionuț'' a folosit o inversiune de centru ''A'' și putere arbitrară și a demonstrat că centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor <math>AD^\prime E^\prime</math> și <math>AF^\prime G^\prime</math> se află pe dreapta ''AX'', unde <math>\{X\} = F^\prime D^\prime AG^\prime E^\prime</math> (am notat cu <math>^\prime</math> transformatele prin inversiune).<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Ciprian'' a arătat că arcele <math>\overset{\frown}{NF}</math> și <math>\overset{\frown}{MG}</math> sunt egale, unde ''N'' și ''M'' sunt mijloacele arcelor mici <math>\overset{\frown}{AB}</math> și respectiv <math>\overset{\frown}{AC}</math>.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Antonie'' a demonstrat că locul geometric al lui <math>\{P\} = SF \cap GT</math>, când ''D'' variază, se află pe dreapta paralelă la bisectoarea interioară a unghiului ''A'' și care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului ''ABC''. Aici am notat cu ''S'' și respectiv ''T'' mijloacele segmentelor ''BD'' și respectiv ''CE''.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;''Mihnea'' și ''Radu'' au folosit numere complexe.<br/>
&emsp;&emsp;&emsp;Echipa României a obținut 41 de puncte la această problemă. ''Mihnea'' a pierdut un punct din cauza unei greșeli minore la calculele cu numere complexe.

=== Enunț ===
&emsp;&emsp;Determinați toate numerele naturale <math>n \ge 3</math> pentru care există <math>a_1, a_2, . . . ,a_{n+2}</math> numere reale, astfel încât <math>a_{n+1} = a_1</math>, <math>a_{n+2} = a_2</math> și <math>a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}</math>, pentru <math>i = 1,2,...,n</math>.

=== Soluție ===
&emsp;&emsp;Vom prezenta o soluție asemănătoare cu cea dată în concurs de ''Edis'', ''Ciprian'' și ''loan''. Vom arăta că numerele căutate sunt multiplii lui 3. Să observăm de la început că putem prelungi șirul la unul infinit, periodic de perioadă <math>n</math>.<br/>
&emsp;&emsp;Dacă <math>n</math> este divizibil cu 3, atunci o soluție este<br/>
<div style="text-align: center;"><math>(a_1,a_2,...) = (-1,-1,2,-1,-1,2,...)</math></div>.
&emsp;&emsp;Nu există în șir un termen <math>a_i = 0</math>. Altfel, începând cu rangul <math>i + 2</math> șirul este strict crescător (se demonstrează ușor prin inducție), contrazicând periodicitatea. Începând cu termenul <math>a_i+1</math>, sirul este <math>(1, 1,2,3, 7, 22, . . )</math>.<br/>


[[Category:Gazeta Matematica nr.1/2019]]