Editing Gazeta matematică 2022

== Gazeta Matematică 1/2022 ==

==== Clasa a XI-a ====
'''[[28247]] (Florin Bojor)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
  <li><i><math>AB = BA;</math></i></li>
  <li><i>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă.<br>Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</i></li>
</ol>

==== Clasa a XII-a ====
'''[[28250]] (Codruț-Sorin Zmicală)'''

''Calculați''
''<math display="block">\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\int_{0}^{1} (\sqrt{x}+x^n})^ndx.</math>''

'''[[28251]]  (Gheorghe Boroica) '''

''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f:  [0,1] \longrightarrow  \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> și <math>\int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>.
<br />
a) ''Dați un exemplu de o funcție <math>f</math> cu proprietățile din enunț''.
<br />
b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}-1}
</math>.

== Gazeta Matematică 2/2022 ==
==== Clasa a VII-a ====
'''[[E:16203]] (Dana Heuberger)'''

''Fie triunghiul'' <math>BCD</math> dreptunghic în <math>D</math>, cu <math>\sphericalangle CBD = 90^\circ</math>. ''Se consideră punctul'' <math>M</math> ''astfel încât semidreapta'' <math>CD</math> ''este bisectoarea'' <math>\sphericalangle BCM</math> ''și'' <math>MD \bot BC</math>''. Fie punctul'' <math>L</math> ''astfel încât'' <math>B</math> ''se află pe segmentul'' <math>ML</math> ''și'' <math>BM=2BL</math>.  ''Notăm cu'' <math>F</math> ''simetricul lui'' <math>D</math> ''față de'' <math>B</math>. ''Arătați că''

a) <math>MB=CF</math>

b) <math>\sphericalangle BDL = \sphericalangle BMD</math>

==== Clasa a IX-a ====
'''[[28260]] (Dana Heuberger)'''

''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k, m, n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math>  și <math>\overrightarrow{NM}+</math>  <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.''

==== Clasa a X-a ====
'''[[S:L22.58]] (Vasile Giurgi)'''

''Determinați'' <math>a \in \mathbb{R}</math> ''pentru care ecuația'' 
<math display="block">\frac{x^{\lg x}}{10^a}+\lg^2 x = x + \lg x+a</math>''are o soluție unică în'' <math>\mathbb{R}</math>.

== Gazeta Matematică 3/2022 ==

'''[[S:L22.108]]. (Nicolae Mușuroia)'''

''Fie <math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math> cu <math>AB = BA</math>, <math>A^2+B^2</math> neinversabilă și <math>\det(A) = \alpha \cdot \det(B) \ne 0</math>, unde <math>\alpha \ne 1</math>.  Arătați  că <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

== Gazeta Matematică 4/2022 ==
==== Clasa a X-a ====
'''[[28315]] (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)'''

''Fie'' <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> ''un poligon regulat și'' <math>M</math> ''un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''

== Gazeta Matematică 5/2022 ==
==== Clasa a X-a ====
'''[[28338]] (Nicolae Muşuroia)'''

''Fie'' <math>M</math> ''un punct în planul triunghiului'' <math>ABC</math> ''iar'' <math>A_1, B_1, C_1</math> ''simetricele punctului <math>M</math> față de mijloacele laturilor'' <math>BC, AC,</math> ''respectiv'' <math>AB</math>''.''

''a) Arătați că dreptele'' <math>AA_1, BB_1, CC_1</math> ''sunt concurente într-un punct'' <math>N</math>''.''

''b) Arătați că punctele'' <math>M, G, N</math> ''sunt coliniare și că'' <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>= 2,</math> ''unde'' <math>G</math> ''este centrul de greutate al triunghiului'' <math>ABC</math>''.''

== Gazeta Matematică 6-7-8/2022 ==
==== Clasa a IX-a ====
'''[[28354]] (Florin Bojor)'''

''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>, <math>GH</math>, ''respectiv'' <math>HE</math>. ''Arătați că:''
<ol type="a"><li>  ''punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă'' <math>AC=BD</math>.</li>
<li>   ''<math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>, <math>NJ</math>, <math>PK</math> și  <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.''</li></ol>''

== Gazeta Matematică 10/2022 ==
==== Clasa a V-a ====

'''[[E:16379]] (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numărul natural ''<math>\overline{ab}</math>'', cu cifre distincte, pentru care ''<math>(\overline{ab} - \overline{ba}) : (a - b) = \overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015.</math>

'''[[E:16380]] (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numerele naturale ''<math>a,b,c,d</math>'' pentru care are loc relaţia ''<math>2(3^{a + 1} + 3^{b + 1} + 3^{c + 1}) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math>

'''[[E:16382]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

''Afișați numerele întregi pozitive <math>\overline{abcd}</math> cu proprietatea ''<math>a^7 + a^b + a^c + a^d = \overline{a000}.</math>

==== Clasa a XI-a ====

'''[[28437]] (Nicolae Mușuroaia)'''

'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. </math>

== Gazeta Matematică 11/2022 ==
==== Clasa a V-a ====

'''[[E:16407]] (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

''Aflați cifrele nenule <math>a </math> și <math>b</math> pentru care <math>a + 10 \cdot (a + b)^{3} = \overline{baba}.</math>'' 

==== Clasa a IX-a ====
'''[[28450]] (Nicolae Mușuroia)'''

''Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente distincte ale mulțimii <math>A \cup B</math> există două a căror sumă este egală cu <math>a_{2p} + b_p.</math>''