Editing E:16203

'''E:16203 (Dana Heuberger)'''

''Fie triunghiul'' <math>BCD</math> dreptunghic în <math>D</math>, cu <math>\sphericalangle CBD = 90^\circ</math>. ''Se consideră punctul'' <math>M</math> ''astfel încât semidreapta'' <math>CD</math> ''este bisectoarea'' <math>\sphericalangle BCM</math> ''și'' <math>MD \bot BC</math>''. Fie punctul'' <math>L</math> ''astfel încât'' <math>B</math> ''se află pe segmentul'' <math>ML</math> ''și'' <math>BM=2BL</math>.  ''Notăm cu'' <math>F</math> ''simetricul lui'' <math>D</math> ''față de'' <math>B</math>. ''Arătați că''

a) <math>MB=CF</math>

b) <math>\sphericalangle BDL = \sphericalangle BMD</math>

'''Soluție:'''

Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral  <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>. 

Fie <math>BC \cap DM = \left\{E\right\}</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.

a) Avem <math>MA=MC-AC=\frac{a}{2}=BF</math>, <math>AB= BC =a</math> și <math>\sphericalangle MAB = \sphericalangle FBC = 120^\circ</math>, deci triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, așadar <math>MB=CF</math>.

b) Triunghiurile <math>ABM</math> și <math>BCF</math> sunt congruente, de unde obținem că <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle FCB = x^\circ</math>. Rezultă că <math>\sphericalangle MBC = \sphericalangle ACF = 60^\circ + x^\circ</math>.

Deoarece <math>\frac{MB}{BL} = \frac{AB}{BF} = 2 </math>, iar <math>\sphericalangle MBA = \sphericalangle LBF</math>, rezulră că triunghiurile <math>MBA</math> și  <math>LBF</math> sunt asemenea, deci <math>FL \parallel MC</math>. Folosind secanta <math>FC</math>, deducem că ungiurile alterne interne <math>CFL</math> și <math>ACF</math> sunt congruente, așadar <math>\sphericalangle ACF = \sphericalangle MBC = \sphericalangle CFL</math>. Din <math>\Delta MBA \approx \Delta LBF</math> rezultă că <math>FL = \frac{MA}{2} = \frac{a}{4}=BE</math>.

Cum <math>MB=CF</math> și <math>\sphericalangle MBC = \sphericalangle CFL</math>, rezultă că <math>\Delta MBE \equiv \Delta CFL </math>, așadar <math>CL \bot FL </math>. Din <math>\sphericalangle CLF = \sphericalangle CDF = 90^\circ</math> rezultă că <math>CDFL</math> este un patrulater inscriptibil, deci <math>\sphericalangle FDL = \sphericalangle FCL</math>. Deoarece <math>\Delta MBE \equiv \Delta CFL </math>, rezultă <math>\sphericalangle FCL = \sphericalangle BME</math>, deci <math>\sphericalangle BDL = \sphericalangle FDL = \sphericalangle BMD</math>.